1、5.2平面向量基本定理及坐标表示必备知识预案自诊知识梳理1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a=.若e1,e2不共线,我们把e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个.把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量作正交分解.2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取i,j作为基底,对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对叫做向量a的坐标,记作a=.3.平面
2、向量的坐标运算运算坐标表示(设a=(x1,y1),b=(x2,y2)和a+b=(x1+x2,y1+y2)差a-b=(x1-x2,y1-y2)数乘a=(x1,y1),其中RAB设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1)4.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab.1.若a与b不共线,a+b=0,则=0.2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为x1+x22,y1+y22.3.已知ABC的重心为G,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则Gx1+x2+x33,y1+y2+y33.考点自
3、诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标不变.()(3)已知a,b是一组基底,若实数1,1,2,2满足1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2.()(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1x2=y1y2.()2.(2019全国2,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.2B.2C.52D.503.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=0,52,则c可用向量a,b表示为()A.12a+bB.-12a-bC.32a+12bD.
4、32a-12b4.已知向量a=(1,-2),同时满足条件ab,|a+b|1),则OD=OB+BD=OB+BA=OA+(1-)OB.因为C,O,D三点共线,令OD=-OC(1).所以OC=-OA-1-OB(1,1).因为OC=mOA+nOB,所以m=-,n=-1-,所以m+n=-1-=-1(-1,0).解题心得结合图象构造三点共线列出向量条件用共起点的向量表示向量应用参数求范围.5.2平面向量基本定理及坐标表示必备知识预案自诊知识梳理1.不共线1e1+2e2基底互相垂直2.(x,y)(x,y)4.x1y2-x2y1=0考点自诊1.(1)(2)(3)(4)2.A由题意,得a-b=(-1,1),则|
5、a-b|=(-1)2+12=2,故选A.3.A设c=xa+yb,则0,52=(2x-y,x+2y),所以2x-y=0,x+2y=52,解得x=12,y=1,则c=12a+b.4.(-1,2)(答案不唯一)ab,b=a(R),|a+b|a|a+a|a|a(1+)|a|1+|1.-20,不妨取=-1,向量b的坐标为(-1,2).5.-15设AE=xAD,AD=13AB+12AC,AE=x3AB+x2AC.E,B,C三点共线,x3+x2=1,x=65.根据平面向量基本定理,得=x3,=x2.因此-=x3-x2=-x6=-15.关键能力学案突破例1(1)C(2)ABD(1)如图,取AB的中点G,连接D
6、G,CG,易知四边形DCBG为平行四边形,所以BC=GD=AD-AG=AD-12AB,所以AE=AB+BE=AB+23BC=AB+23AD-12AB=23AB+23AD,于是BF=AF-AB=12AE-AB=1223AB+23AD-AB=-23AB+13AD,故选C.(2)对于A,AC=AD+DC=AD+12AB=12a+b,故A正确;对于B,BC=BA+AD+DC=-AB+AD+12AB=-12a+b,故B正确;对于C,BM=BA+AM=-AB+23AC=-23a+23b,故C错误;对于D,EF=EA+AD+DF=-12AB+AD+14AB=-14a+b,故D正确.故选ABD.对点训练1(1
7、)A(2)C(3)23a-13b(1)AM=AB-AC=AB-(AB+AD)=(-)AB-AD=2(-)AE-3AF.因为E,M,F三点共线,所以2(-)+(-3)=1,即2-5=1,所以52-=-12.(2)根据平面向量基本定理可知,e1,e2不共线,验证各选项,只有选项C中的两个向量不共线,故选C.(3)由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得m-n=1,2m+n=1,所以m=23,n=-13.即e1+e2=23a-13b.例2(1)B(2)B(
8、1)设P(x,y),则MP=(x-3,y+2),而12MN=12(-8,1)=-4,12,所以x-3=-4,y+2=12,解得x=-1,y=-32,所以点P的坐标为-1,-32.(2)建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2).CA=CE+DB,(-2,2)=(-2,1)+(1,2),-2+=-2,+2=2,解得=65,=25,则+=85.对点训练2(1)(4,7)(2)A(1)由点C是线段AB上一点,|BC|=2|AC|,得BC=-2AC.设点
9、B的坐标为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),则2-x=-2,3-y=-4,解得x=4,y=7.所以向量OB的坐标是(4,7).(2)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为DAB=60,所以设D点的坐标为(m,3m)(m0).AD=(m,3m)=AB+AC=(1,0)+(0,2)=(,2),则=m,且=32m,所以=233.例3(3,3)(方法1)由O,P,B三点共线,可设OP=OB=(4,4),则AP=OP-OA=(4-4,4).又因为AC=OC-OA=(-2,6),由AP与AC共线,得
10、(4-4)6-4(-2)=0,解得=34,所以OP=34OB=(3,3),所以点P的坐标为(3,3).(方法2)设点P(x,y),则OP=(x,y),因为OB=(4,4),且OP与OB共线,所以x4=y4,即x=y.又因为AP=(x-4,y),AC=(-2,6),且AP与AC共线,所以(x-4)6-y(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).例4-13因为2-132,所以a与b不共线.a-3b=(2,3)-3(-1,2)=(5,-3)0,那么当ma+nb与a-3b共线时,有m1=n-3,即得mn=-13.对点训练3(1)A(2)12(3)60(1)由题意易知,ABAC,其中AB
11、=OB-OA=(2m-1,1),AC=OC-OA=(-2n-1,2),所以(2m-1)2=1(-2n-1),得2m+1+2n=1.2m+1+2n22m+n+1,当且仅当m+1=n时,等号成立.所以2m+n+12-2,即m+n-3.故m+n的最大值为-3,故选A.(2)2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),由c(2a+b),得4-2=0,得=12.(3)由pq,得(a+c)(c-a)=b(b-a),整理得a2+b2-c2=ab.由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=12.0C180,C=60.素养提升微专题5共线定理的推广及应用对点训练1B如图,CD为ACB的角平分线,ACCB=ADDB=21,BD=13BA.CD=CB+BD=CB+13BA=CB+13(CA-CB)=23CB+13CA=23a+13b.对点训练2解设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.A,P,M共线,B,P,N共线,存在实数,使得AP=AM=-e1-3e2,BP=BN=2e1+e2.BA=PA-PB=BP-AP=(+2)e1+(3+)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,+2=2,3+=3,解得=45,=35,AP=45AM.即APPM=4.
