1、4.6正弦、余弦定理与解三角形必备知识预案自诊知识梳理1.正弦定理和余弦定理在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则正弦定理余弦定理内容asinA=bsinB=csinC=2R(R为ABC外接圆的半径)a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C常见变形(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(2)sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;(3)abc=sin Asin Bsin Ccos A=b2+c2-a22bc;cos B=a2+c2-b22ac;cos C=a2+b2
2、-c22ab解决的问题(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角2.ABC的面积公式(1)SABC=12ah(h表示a边上的高).(2)SABC=12absin C=12acsin B=12bcsin A=abc4R.(3)SABC=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方的角叫做仰角,目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1).(2)方向角:相对于某正方向
3、的水平角,如南偏东30、北偏西45、西偏北60等.(3)方位角:指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如点B的方位角为(如图2).(4)坡角:坡面与水平面所成的二面角的平面角.1.在ABC中,常有以下结论(1)A+B+C=.(2)在三角形中大边对大角,大角对大边.(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C;sinA+B2=cosC2;cosA+B2=sinC2.(5)tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.(6)ABabsin Asin Bcos Ac2
4、,则C90;(3)若a2+b290.3.三角形中的射影定理在ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)在ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.()(3)在ABC中,sin Asin B的充分不必要条件是AB.()(4)在ABC中,a2+b2c2是ABC为钝角三角形的充分不必要条件.()(5)在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()2.(
5、2020北京房山区二模,2)在ABC中,若A=4,B=3,a=23,则b=()A.23B.32C.26D.333.(2020全国3,理7)在ABC中,cos C=23,AC=4,BC=3,则cos B=()A.19B.13C.12D.234.(2019全国2,理15)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=3,则ABC的面积为.5.(2020北京东城一模,14)ABC是等边三角形,点D在边AC的延长线上,且AD=3CD,BD=27,则CD=,sinABD=.关键能力学案突破考点利用正弦、余弦定理解三角形【例1】(1)(2019全国1,文11)ABC的内角A,B,C
6、的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.3(2)(2020河北石家庄二模,文5)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C+sin B),b=1,c=2,则ABC的面积为()A.12B.32C.1D.3解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC能够实现边角互化.2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,
7、在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的“有界性”和“大边对大角”进行判断.对点训练1(1)(2020福建福州三模,理15)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin2A+cos B=1,则cb-a的取值范围为.(2)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.考点判断三角形的形状【例2】(1)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+cc
8、os B=asin A,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定(2)(2020山东济宁5月模拟,17)在sin A,sin B,sin C成等差数列;sin B,sin A,sin C成等比数列;2bcos C=2a-3c三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S.若,且4S=3(b2+c2-a2),试判断ABC的形状.变式发散1若本例(1)条件改为“asin A+bsin Bcsin C”,那么ABC的形状为.变式发散2若本例(1)条件改为“c-acos B=(2a-b)cos A”,那么
9、ABC的形状为.变式发散3若本例(1)条件改为“cosAcosB=ba=2”,那么ABC的形状为.解题心得判断三角形的形状时主要有以下两种方法:(1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数之间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论.考点正弦、余弦定理与三角变换的综合问题【例3】(2020河北保定二模,文16,理16)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c2=absin C,aco
10、s B+bsin A=c,a=10,则b=.解题心得在三角形中进行三角变换要注意隐含条件:A+B+C=的使用;运用正弦定理、余弦定理能够进行边角互化以及化异角为同角,从而实现消元的目的,为三角变换提供了条件.对点训练2(1)(2020安徽马鞍山二模,9)已知ABC三内角A,B,C满足cos 2A+cos 2B=1+cos 2C,且2sin Asin B=sin C,则下列结论正确的是()A.A=B,C2B.AB,C=2C.AB,C2D.A=B,C=2(2)(2020江苏镇江三模,14)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(b-sin C)cos A=sin Acos C,且a
11、=2,则tanAtanBtanC的最大值为.考点正、余弦定理在实际问题中的应用【例4】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山脚C在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山脚C在西偏北75的方向上,山顶D的仰角为30,则此山的高度CD= m.解题心得利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路是:1.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;2.实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先求解条件充足的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中
12、列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.对点训练3(2020河南实验中学4月模拟,14)如图,为测量出高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角MAN=60,点C的仰角CAB=45,MAC=75.从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN=m.4.6正弦、余弦定理与解三角形必备知识预案自诊考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.B根据正弦定理asinA=bsinB,故23sin4=bsin3,解得b=32.故选B.3.AAB2=AC2+BC2-2ACBCcosC=16+9-2423=9,AB=3,cosB=AB2+BC2-AC22ABBC=9
13、+9-16233=19.4.63b2=a2+c2-2accosB,(2c)2+c2-22cc12=62,即3c2=36,解得c=23或c=-23(舍去).a=2c=43.SABC=12acsinB=12432332=63.5.232114如图所示,等边ABC中,因为AD=3CD,所以AC=2CD,又BD=27,所以BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD,即(27)2=(2CD)2+CD2-4CDCDcos120,解得CD=2,所以AD=6.由ADsinABD=BDsinA,即6sinABD=27sin60,解得sinABD=32114.关键能力学案突破例1(1)A(2)B(1)由已知及
14、正弦定理,得a2-b2=4c2,由余弦定理的推论,得-14=cosA=b2+c2-a22bc,c2-4c22bc=-14,-3c2b=-14,bc=324=6,故选A.(2)由(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC+sinB),应用正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c+b),即a2=b2+c2+bc,故cosA=b2+c2-a22bc=-12,故A=23,又因为b=1,c=2,所以ABC的面积S=12bcsinA=32.故选B.对点训练1(1)(2,3)(2)233(1)在ABC中,因为2sin2A+cosB=1,所以cosB=cos2A,所以B=2A.由正弦定理,cb-a=sinC
15、sinB-sinA=sin(A+B)sinB-sinA=sinAcos2A+cosAsin2Asin2A-sinA=sinA(2cos2A-1)+2sinAcos2A2sinAcosA-sinA=4cos2A-12cosA-1=2cosA+1,由0B=2A,0C=-3A,得0A3,故12cosA0,所以cosA0,0A2,因为asinA=2R,所以sinA=12,A=30,所以cosA=b2+c2-a22bc=32,所以bc=833,所以SABC=12bcsinA=233.例2(1)B(方法1)由bcosC+ccosB=asinA,应用正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsi
16、nA,即sin(B+C)=sinAsinA,所以sinA=1,即A=2,因此ABC是直角三角形.(方法2)因为bcosC+ccosB=ba2+b2-c22ab+ca2+c2-b22ac=2a22a=a,所以asinA=a,即sinA=1,故A=2,因此ABC是直角三角形.(2)解方案一:选条件.由4S=3(b2+c2-a2),可得2bcsinA=23bccosA,所以tanA=3.又因为0A,所以A=3.由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,因为sinA,sinB,sinC成等差数列,所以2sinB=sinA+sinC,即2b=a+c,即(2b-c)2=b2+c2-bc,可得b=c.所以ABC
17、为等边三角形.方案二:选条件.由4S=3(b2+c2-a2),可得2bcsinA=23bccosA,所以tanA=3.又因为0A,所以A=3.由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,因为sinB,sinA,sinC成等比数列,所以sin2A=sinBsinC,即a2=bc,所以(b-c)2=0,所以b=c.所以ABC为等边三角形.方案三:选条件.由4S=3(b2+c2-a2),可得2bcsinA=23bccosA,所以tanA=3.又因为0A,所以A=3.因为2bcosC=2a-3c,所以2sinBcosC=2sinA-3sinC,即2sinBcosC=2sin(B+C)-3sinC,可得cos
18、B=32,所以B=6,所以C=2.所以ABC为直角三角形.变式发散1钝角三角形根据正弦定理可得a2+b2c2,由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab0,C为锐角.将sinC=2cosC代入sin2C+cos2C=1,解得sinC=255,cosC=55.acosB+bsinA=c,sinAcosB+sinAsinB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sinAsinB=cosAsinB.0B0,则tanA=1,0A0,tanC0,tanB+tanC2tanBtanC,当且仅当tanB=tanC时,等号成立,2tanBtanC-22tanBtanC,解得tanB
19、tanC3+52,tanAtanBtanC=2tanBtanC23+52=3-5,故tanAtanBtanC的最大值为3-5.例41006在ABC中,BAC=30,ABC=180-75=105,BCA=45.AB=600,由正弦定理得ABsinBCA=BCsinBAC,解得BC=3002.在RtBCD中,CBD=30,DCB=90,CD=BCtan30=300233=1006(m).对点训练3150在ABC中,BAC=45,ABC=90,BC=100m,AC=100sin45=1002(m).在AMC中,MAC=75,MCA=60,AMC=45,AMsinACM=ACsinAMC,即AMsin60=1002sin45,解得AM=1003(m).在RtAMN中,MN=AMsinMAN=1003sin60=150(m).
