1、4 反证法01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升自主梳理一、反证法的定义1在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者_，我们可以先假定命题结论的_成立，在这个前提下，若推出的结果与_相矛盾，或与命题中的_相矛盾，或与_相矛盾，从而断定命题结论的反面_成立，由此断定命题的结论_这种证明方法叫作_必居其一 反面定义、公理、定理已知条件假定不可能成立反证法2反证法是一种_证明的方法二、反证法的证明步骤1作出_的假设2进行推理，导出_3否定_，肯定_间接否定结论矛盾假设结论双基自测1命题“在ABC 中，若AB，则 ab”的结论的否定应该是()Aab Bab Cab D
2、ab2若 a、b、c 不全为零，必须且只需()Aabc0Ba、b、c 中至少有一个为 0Ca、b、c 中只有一个是 0Da、b、c 中至少有一个不为 0BD 解析：a、b、c 不全为零，即 a、b、c 中至少有一个不为 0.3用反证法证明“若 abc3，则 a，b，c 中至少有一个小于 1”时，应()A假设 a，b，c 至少有一个大于 1B假设 a，b，c 都大于 1C假设 a，b，c 至少有两个大于 1D假设 a，b，c 都不小于 1D 解析：假设 a，b，c 中至少有一个小于 1 不成立，即 a，b，c 都不小于 1，故选 D.4有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访
3、了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是()A甲B乙 C丙D丁C 解析：若甲、乙的话是对的，则乙获奖，从而丁的话是对的不符合题意；若甲、丙的话是对的，则丙获奖，乙、丁的话是错的，符合题意，故选 C.5用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于 60”的过程如下：已知：ABC 的三个内角 A，B，C.求证：A，B，C 中至少有一个大于或等于 60.证明：假设_则 ABC606060180，这与_矛盾，因此假设不成立，原命题正确A，B，C 都小于 60，即 A60，B60，C0.这与
4、abc0 矛盾，故 a，b，c 中至少有一个大于 0.1对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法2常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有 n1 个至少有 n1 个2已知 x，y，zR，xyz1，x2y2z212，求证：x，y，z0，23证明：假设 x，y，z 中有负数，不妨设 x0，则 yz1x，y2z2yz22，12x2y2z2x2yz22x21x2232x2x1232x(x23)12.x0，x230.1232x(x23)1212，矛盾x，y，z 中没有负数假
5、设 x，y，z 中有一个大于23，不妨设 x23，则12x2y2z2x2yz22x21x2232x2x1232x(x23)12.x23，x0.32x(x23)0.1232x(x23)1212，矛盾x，y，z 中没有大于23的综上，x，y，z0，23唯一性命题的证明典例 求证函数 f(x)2x1 有且仅有一个零点证明(1)存在性：因为 212 10，所以12为函数 f(x)2x1 的零点所以函数 f(x)2x1 至少存在一个零点(2)唯一性：假设函数 f(x)2x1 除12外还有零点 x0 x012，则 f12 f(x0)0.即 212 12x01，所以 x012，这与 x012矛盾故假设不成立，即函数 f(x)2x1 除12外没有零点综上所述，函数 f(x)2x1 有且只有一个零点感悟提高“有且仅有”的含义有两层，存在性：本题中只需找到函数 f(x)2x1的一个零点即可；唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求 矛盾，从而证明原命题的正确性.03 课后 巩固提升