1、天津市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1函数y（3x2）ex的单调递增区间是（）A（，0）B（0，+）C（，3）和（1，+）D（3，1）2如图，函数yf（x）的图象在点P处的切线方程是yx+8，则f（5）+f（5）（）AB1C2D03如果f（x）是二次函数，且f（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线yf（x）上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（）ABCD4（+）2n（nN*）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（）A120B210C252D455已知f（x）x2+sin，f（x）为f（x）的导函数，则f（x）的图象是（）ABCD6
2、已知定义在R上的可导函数yf（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（0）2，则不等式的解集为（）A（，0）B（0，+）C（，2）D（2，+）7已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）ABCD8如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A120B26C340D4209将二项式（+）8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有（）种ABCD10已知函数f（x
3、），若g（x）f（x）a（x+2）的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A（0，）B（0，）C，）D，）二、填空题：11编号为1，2，3，4，5，6的六个同学排成一排，3、4号两位同学相邻，不同的排法 .（用数字作答）12若（x2+1）（2x+1）9a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a11（x+2）11，则a0+a1+a11的值为 13四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字作答）14已知函数f（x）x（xc）2在x2处有极大值，则c 15已知函数f（x）x2+ax+1lnx，若f（x）在（0，）上是减函数，则a的取值范围为
4、 16若函数在其定义域内的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围 三、解答题：17为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛（）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望18某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中
5、：（）恰有2人申请A片区房源的概率；（）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望19设函数f（x）ax2+bx+k（k0）在x0处取得极值，且曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线x+2y+10（）求a，b的值；（）若函数，讨论g（x）的单调性20已知函数f（x）ax2+ln（x+1）（）当时，求函数f（x）的单调区间；（）当x0，+）时，不等式f（x）x恒成立，求实数a的取值范围（）求证：（其中nN*，e是自然对数）参考答案一、选择题（共10小题）.1函数y（3x2）ex的单调递增区间是（）A（，0）B（0，+）C（，3）和（1，+）D（3，1）解：求导函数得：y（x22x+3）e
6、x令y（x22x+3）ex0，可得x2+2x303x1函数y（3x2）ex的单调递增区间是（3，1）故选：D2如图，函数yf（x）的图象在点P处的切线方程是yx+8，则f（5）+f（5）（）AB1C2D0解：f（5）1将x5代入切线方程得f（5）5+83，所以f（5）+f（5）3+（1）2，故选：C3如果f（x）是二次函数，且f（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线yf（x）上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（）ABCD解：根据题意得f（x）则曲线yf（x）上任一点的切线的斜率ktan结合正切函数的图象由图可得故选：B4（+）2n（nN*）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（）A12
7、0B210C252D45解：由已知（+）2n（nN*）展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项，所以2n10，即n5，又展开式的通项为，令50解得k6，所以展开式的常数项为210；故选：B5已知f（x）x2+sin，f（x）为f（x）的导函数，则f（x）的图象是（）ABCD解：由f（x）x2+sinx2+cosx，f（x）xsinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D又f（x）cosx，当x时，cosx，f（x）0，故函数yf（x）在区间（，）上单调递减，故排除C故选：A6已知定义在R上的可导函数yf（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（0）2，则不等式的
8、解集为（）A（，0）B（0，+）C（，2）D（2，+）解：设g（x），则g（x），f（x）f（x），g（x）0，即函数g（x）单调递增f（0）2，g（0），则不等式等价为，即g（x）g（0），函数g（x）单调递增x0，不等式的解集为（0，+），故选：B7已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）ABCD解：求导数可得f（x）x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b20有两不等实根，即4（a2b2）0，即ab，又a，b的取法共339种，其中满足ab的有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），
9、（3，2）共6种，故所求的概率为P故选：D8如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A120B26C340D420解：根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步进行分析：，对于区域A，有5种颜色可选；，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有3+227种
10、选择，则不同的涂色方案有5437420种；故选：D9将二项式（+）8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有（）种ABCD解：设二项式（+）8的展开式的通项为Tr+1，则Tr+1，0r8，60，244，又rZ，当r0，4，8时，4Z，二项式（+）8的展开式中的所有有理式项共三项，依题意，6项非有理式项自由排列，有种方法，它们产生7个空位，让三项有理式项插空排列有中方法，由分步乘法计数原理得：有理式不相邻的排法有种方法，故选：C10已知函数f（x），若g（x）f（x）a（x+2）的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A（0，）B（0，）C，）D，）解：g（x）的图象与x
11、轴有3个不同的交点，yf（x）与ya（x+2）有3个不同交点，作yf（x）与ya（x+2）的图象如下，易知直线ya（x+2）过定点A（2，0），斜率为a当直线ya（x+2）与yln（x+2）相切时是一个临界状态，设切点为（x0，y0），则，解得，x0e2，a，又函数过点B（2，ln4），kAB，故a故选：C二、填空题：11编号为1，2，3，4，5，6的六个同学排成一排，3、4号两位同学相邻，不同的排法240.（用数字作答）解：把3，4号同学看作一个元素，和其他4位同学进行排列，则共有AA240，故答案为：24012若（x2+1）（2x+1）9a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a11（x+
12、2）11，则a0+a1+a11的值为2解：（x2+1）（2x+1）9a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a11（x+2）11在上式中，令x1：（1）2+1）（2（1）+1）2a0+a1+a11即a0+a1+a112故答案为：213四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有144种（用数字作答）解：四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列故共有C42A43144种不同的放法故答案为14414已知函数f（x）x（xc）2在x2处有极大值，则c6
13、解：f（x）（xc）2+2x（xc）3x24cx+c2，且函数f（x）x（xc）2在x2处有极大值，f（2）0，即c28c+120，解得c6或2经检验c2时，函数f（x）在x2处取得极小值，不符合题意，应舍去故c6故答案为615已知函数f（x）x2+ax+1lnx，若f（x）在（0，）上是减函数，则a的取值范围为（，3解：f（x）在（0，）上是减函数，f（x）0在（0，）上恒成立由f（x）2x+a0，得2x2+ax10，得a2x+令g（x）2x+，0，则g（x）2，当0x时，g（x）0，g（x）在（0，）上单调递减，g（x）g（）3，a3故答案为：（，316若函数在其定义域内的一个子区间（k1
14、，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围1，）解：求导函数可得（x0），令f（x）0，可得x函数在其定义域内的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，1k实数k的取值范围1，）故答案为：1，）三、解答题：17为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛（）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望解：（）由已知，有P（A），事件
15、A发生的概率为；（）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（Xk）（k1，2，3，4）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P 随机变量X的数学期望E（X）18某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（）恰有2人申请A片区房源的概率；（）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222根据等可能事件的概率公式得到P（II）由题意知的可
16、能取值是1，2，3P（1），P（2），P（3）的分布列是： 1 2 3 P E19设函数f（x）ax2+bx+k（k0）在x0处取得极值，且曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线垂直于直线x+2y+10（）求a，b的值；（）若函数，讨论g（x）的单调性解：（）因f（x）ax2+bx+k（k0），故f（x）2ax+b又f（x）在x0处取得极值，故f（0）0，从而b0，由曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线与直线x+2y+10相互垂直可知该切线斜率为2，即f（1）2，有2a2，从而a1（）由（）知：、令g（x）0，有x22x+k0（1）当44k0，即当k1时，g（x）0在R上恒成立，故函数g（
17、x）在R上为增函数（2）当44k0，即当k1时，k1时，g（x）在R上为增函数（3）44k0，即当0k1时，方程x22x+k0有两个不相等实根当时g（x）0，故g（x）在上为增函数当时，g（x）0，故g（x）在上为减函数当时，g（x）0，故g（x）在上为增函数20已知函数f（x）ax2+ln（x+1）（）当时，求函数f（x）的单调区间；（）当x0，+）时，不等式f（x）x恒成立，求实数a的取值范围（）求证：（其中nN*，e是自然对数）解：（）当a时，f（x）x2+ln（x+1）（x1），f（x）x+（x1），由f（x）0，解得1x1，由f（x）0，解得x1故函数f（x）的单调递增区间为（1，1
18、），单调递减区间为（1，+）（）当x0，+）时，不等式f（x）x恒成立，即ax2+ln（x+1）x0恒成立，设g（x）ax2+ln（x+1）x（x0），只需g（x）max0即可由g（x）2ax+1，（）当a0时，g（x），当x0时，g（x）0，函数g（x）在（0，+）上单调递减，故g（x）g（0）0成立（）当a0时，由g（x）0，因x0，+），所以x1，若10，即a时，在区间（0，+）上，g（x）0，则函数g（x）在（0，+）上单调递增，g（x）在0，+）上无最大值，此时不满足条件；若10，即0a时，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增，同样g（x）在0，+）上无最大值，不满足条件（）当a0时，g（x），x0，+），2ax+（2a1）0，g（x）0，故函数g（x）在0，+）上单调递减，故g（x）g（0）0成立综上所述，实数a的取值范围是（，0（）据（）知当a0时，ln（x+1）x在0，+）上恒成立，又2（），ln（1+）（1+）（1+）1+ln（1+）+ln（1+）+ln（1+）+ln1+2（）+（）+（）+（）2（）1，（1+）（1+）（1+）1+e