1、南通市2018属高三第一次调研测试数学一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，.若,则实数的值为 2.已知复数 ，其中为虚数单位，则复数的实部为 3.已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400,400,500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年纪抽取 名学生4.根据如下图所示的伪代码，可知输出的结果为 5.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为 6.若实数，满足则的最大值为 7.在平面直角坐标系中，已
2、知点为抛物线的焦点，则点到双曲线的渐进性的距离为 8.在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为 9.在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则的值为 10.若曲线在与处的切线互相垂直，则正数的值为 11.如下图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成.已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为 （不计损耗）12.如图，已知矩形的边长，.点，分别在边，上，且，则的最小值为 13.在平面直角坐标系中，已知点，从直线上一点向圆引两条切线，切点分别为，.设线段的中点
3、为，则线段长的最大值为 14.已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是 第卷（共90分）二、解答题 ：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，在三棱锥中，是的中点，点在棱上，点是的中点.求证：（1）平面；（2）平面平面.16.在中，角，所对的边分别是，且，.（1）求的值；（2）求的值.17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，两条准线之间的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且的面积是面积的2倍，求直线的方程.18. 如图，某小区中央广场由两部分组成，
4、一部分是长边为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的3条直道，将广场分割为6个区域：I、III、V为绿化区域（图中阴影部分），II、IV、VI为休闲区域、其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计）（1）若经过圆心，求点到的距离；（2）设，.试用表示的长度；当为何值时，绿化区域面积之和最大.19. 已知函数（）有极值，且函数的极值点是的极值点，其中是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求关于的函数关系式；（2）当时，若函数的最小值为，证明：.20. 若数列同时满足：对于任意的正整数，恒成立；对于给定的正整数，对于任意的正整数（）恒成
5、立，则称数列是“数列”.（1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列是“数列”，且存在整数（），使得，成等差数列，证明：是等差数列.数学II（附加题）21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，饼子啊相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，已知的半径为2，的半径为1，两圆外切于点.点为上一点，与切于点.若，求的长.B.选修4-2：矩阵与变换已知，向量是矩阵 的属于特征值的一个特征向量，求与.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线与曲线（为参数）相交于，两
6、点，求线段的长.D.选修4-5：不等式选讲已知，求的最小值.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20份.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥中，两两垂直，且，.（1）求二面角的余弦值；（2）已知点为线段上异于的点，且，求的值.23.（1）用数学归纳法证明：当时，（，且，）；（2）求的值.试卷答案一、填空题1.12.3.254.105.6.57.8.9.10.11.12.13.14.三、解答题15. （1）在中，是的中点，是的中点，所有.又因为平面，平面，所有平面.（2）在中，是的中点，所以，又因为，平面，平面，所有平面.又因为平面，所
7、有平面平面.16.（1）在中，根据余弦定理及，.又因为，所有.在中，由余弦定理得，.（2）因为，所有，及得，又，所有在中，所有.17.（1）设椭圆的焦距为，由题意得，解得，所有，所以椭圆的方程为.（2）方法一：因为，所以，所以点为的中点，因为椭圆的方程为，所有.设，则.所有 ， ，由得，解得，（舍去）.把代入，得，所有，因此，直线的方程为即，.方法二：因为，所以，所以点为的中点，设直线的方程为.由得，所有，解得.所有，代入得，化简得，即，解得，所以，直线的方程为即，.18.以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系.（1）直线的方程为，半圆的方程为（）,由得.所有，点到的距离为.(2
8、)由题意，得.直线的方程为，令，得.直线的方程为，令，得.所有，的长度为，.区域IV、VI的面积之和为，区域II的面积为，所以（）.设，则，当且仅当，即时“=”成立.所有，休闲区域II、IV、VI的面积的最小值为.答：当时，绿化区域I、III、V的面积之和最大.19.（1）因为，令，解得.列表如下.-0+极小值所以时，取得极小值.因为，由题意可知，且所以，化简得.由，得.所以，.（2）因为，所以记，则，令，解得，列表如下.-0+极小值所有时，取得极小值，也是最小值，此时，.令，解得.列表如下.-0+极小值所以时，取得极小值，也是最小值.所以.令，则，记，则，.因为，所以，所有单调递增.所以，所
9、以. 20.（1）当为奇数时，所以.当为偶数时，所以.所以，数列是“数列”.（2）由题意可得：，则数列，,是等差数列，设其公差为，数列，,是等差数列，设其公差为，数列，,是等差数列，设其公差为.因为，所以，所以，所以 ， .若，则时，不成立；若，则时，不成立；若，则和都成立，所以.同理得：，所以，记.设，则.同理可得：，所以，所以是等差数列.【另解】，以上三式相加可得：，所以，所以，所以，所以，所以，数列是等差数列.21.A延长交与点，连结，则过点，由切割线定理得：.因为，与均为等腰三角形，所以，所以，所以，即.因为，所以.B由已知得 ，所以所以 .设 ，则 即 .所以，.所以， .C曲线的普通方程为.联立解得或所以，所以.D因为，所以，.两式相加：，所以.当且仅当且时“=”成立.即时，取得最小值8.22.以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系.则，（1）由题意可知，.设平面的法向量为，则即令，则，.所以.平面的法向量为，所以，由题意可知，设，则，因为，所以，化简得，所以或.又因为点异于点，所以.23.（1）当时，等式右边等式左边，等式成立.假设当时等式成立，即.那么，当时，有这就是说，当时等式也成立.根据和可知，对任何等式都成立.（2）由（2）可知，同时求导，得，所以，所以.
