1、天津市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题(每题4分，共32分).1复数z满足，则|z|（）ABCD2已知向量（1，m），（3，2），且（+），则m（）A8B6C6D83“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0，10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高现随机抽取10位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10则这组数据的80%分位数是（）A7.5B8C8.5D94在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作
2、为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么化学和生物至多有一门被选中的概率是（）ABCD5为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为：8，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（）ABCD62021年是中国共产党建党100周年，为全面贯彻党的教育方针，提高学生的审美水平和人文素养，促进学生全面发展某学校高一年级举办了班级合唱活动现从全校学生中随机抽取部分学生，并邀请他们为此次活动评分（单位：分，满分100分），对评分进行整理，得到如图
3、所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（）Aa0.028B若该学校有3000名学生参与了评分，则估计评分超过90分的学生人数为600C学生评分的众数的估计值为85D学生评分的中位数的估计值为837ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的个数是（）若AB，则sinAsinB；若A30，b4，a3，则ABC有两解；若ABC为钝角三角形，则a2+b2c2；若A60，a2，则ABC面积的最大值为A1个B2个C3个D4个8在ABC中，E为AC上一点，P为BE上任一点，若，则的最小值是（）A9B10C11D12二、填空题：(每小题4分，共24分)9某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别
4、有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 10某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为 11已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为 12已知边长为4的正方形ABCD中，AC与BD交于点E，且F、G分别是线段EC和线段EB的中点，则（+） 13如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成
5、的角的余弦值是 14如图三棱锥PABC，平面PBC平面ABC，已知PBC是等腰三角形，ABC是等腰直角三角形，若ABBC2，PBPC，球O是三棱锥PABC的外接球，则球O的表面积是 三.解答题：(本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求角C的值；（2）若，b2a，求ABC的面积S16如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD满足ABAD，BCAD，AD2BC，且M为PA的中点（1）求证：BM平面PCD；（2）若平面PAD平面ABCD，且DPDA，求证：平面BDM平面PAB17天津市某中学高三年级有10
6、00名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：（1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分（2）已知样本中成绩在140，150内的学生中有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，写出这个试验的样本空间；（用恰当的符号表达）设事件A：“选取的两人中至少有一名女生”，写出事件A的样本点，并求事件A发生的概率18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1ACBC2，ACB90，D，E分别是A1B1，CC1的中点（）求证：C1D平面A
7、1BE；（）求直线AB与平面A1BE所成角的正弦值；（）在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为60？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题(每题4分，共32分).1复数z满足，则|z|（）ABCD【分析】先利用复数的四则运算求出复数z，再利用复数模长公式求解解：，复数，故选：B2已知向量（1，m），（3，2），且（+），则m（）A8B6C6D8【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案解：向量（1，m），（3，2），+（4，m2），又（+），122（m2）0，解得：m8，故选：D3“幸福感指数”是指某个人主
8、观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0，10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高现随机抽取10位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10则这组数据的80%分位数是（）A7.5B8C8.5D9【分析】根据百分位数的定义，即可求出该组数据的80%分位数解：因为1080%8，所以数据3，4，5，5，6，7，7，8，9，10的80%分位数是（8+9）8.5故选：C4在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么化学和生物至多有一门
9、被选中的概率是（）ABCD【分析】采用列举法将从4门学科中任选2门得到所有可能的情况列举出来，再确定其中满足化学和生物至少有一门被选中的基本事件个数，根据古典概型概率计算公式即可得到结果解：从4门学科中任选2门共有：政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物、化学+生物，共6种情况，其中满足化学和生物至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为故选：D5为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为：8，则正六棱锥与正六棱柱
10、的高的比值为（）ABCD【分析】设出棱柱的底面边长，可得棱柱的高，再设出棱锥的斜高，由已知侧面积的比值求得棱锥斜高与棱柱底面边长的关系，再由勾股定理得到棱锥的高与棱柱高的关系，则答案可求解：设正六棱柱的底面边长为a，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，正六棱柱的高为2a，再设正六棱锥的高为H，斜高为h，则正六棱锥的侧面积为，正六棱柱的侧面积为，由已知可得：，得h，又，得Ha，正六棱锥与正六棱柱的高的比值为故选：D62021年是中国共产党建党100周年，为全面贯彻党的教育方针，提高学生的审美水平和人文素养，促进学生全面发展某学校高一年级举办了班级合唱活动现从全校学生中随机抽取部分学生，并邀
11、请他们为此次活动评分（单位：分，满分100分），对评分进行整理，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（）Aa0.028B若该学校有3000名学生参与了评分，则估计评分超过90分的学生人数为600C学生评分的众数的估计值为85D学生评分的中位数的估计值为83【分析】对A，由频率之和为1可得；对B，根据频率分布直方图直接计算；对C，由最高长方形底边中点对应的横坐标是样本数据的众数可得；对D，先判断出中位数在80，90）内，列出式子可求解：对于A，由频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，知0.06+0.06+10a+0.4+0.21，解得a0.028，A正确；对于B，由频率分布直方
12、图易知，估计参与评分的3000名学生中，评分超过9（0分）的人数为3000（0.0210）600，B正确；对于C，由频率分布直方图可知，众数的估计值为85，C正确；对于D，前三组频率之和为（0.006+0.006+0.028）100.4，前四组频率之和为0.4+0.04100.8，则中位数在80，90）内，设学生评分的中位数的估计值为x，则0.4+（x80）0.040.5，解得x82.5，D错误故选：D7ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的个数是（）若AB，则sinAsinB；若A30，b4，a3，则ABC有两解；若ABC为钝角三角形，则a2+b2c2；若A60，a2
13、，则ABC面积的最大值为A1个B2个C3个D4个【分析】利用正弦定理结合大边对大角定理可判断A选项的正误；利用正弦定理可判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；利用基本不等式、余弦定理结合三角形的面积公式可判断D选项的正误解：对于A选项，若AB，则ab，由正弦定理可得，所以，sinAsinB，A选项正确；对于B选项，bsinA4sin302，则bsinAab，所以，ABC有两解，B选项正确；对于C选项，若ABC为钝角三角形且C为钝角，则，可得a2+b2c2，C选项错误；对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得4a2b2+c22bccosAb2+c2bc2bcbcbc，即bc4，当且仅当
14、bc2时，等号成立，所以，D选项正确故选：C8在ABC中，E为AC上一点，P为BE上任一点，若，则的最小值是（）A9B10C11D12【分析】利用向量共线定理可得：m+3n1再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解：，+，P为BE上任一点，m+3n1（m+3n）3+3+12，当且仅当m3n时取等号故选：D二、填空题：(每小题4分，共24分)9某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16【分析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得
15、到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数解：高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生本校共有学生150+150+400+3001000，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查每个个体被抽到的概率是，丙专业有400人，要抽取40016故答案为：1610某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为【分析】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，恰好投中两次为事件，发生，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果解
16、：在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，恰好投中两次为事件，发生，故恰好投中两次的概率：P+（1），解得p故答案为：11已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为 7【分析】根据题意，设原数据为a1，a2，a3，a4，a5，a6，则有，由平均数、方差的计算公式计算可得答案解：根据题意，设原数据为a1，a2，a3，a4，a5，a6，则加入2和6两个新数据后，所得8个数据的平均数为，所得8个数据的方差为故选：712已知边长为4的正方形ABCD中，AC与BD交于点E，且F、G分别是线段EC和线段EB的中点，则（+）16【分析】以AB为所在的直线为x轴，以A
17、D所在的直线为y轴，根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可解：以AB为所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，则A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），E（2，2）F（3，3），G（3，1）（3，1），（2，2），（3，1），+（3，1）+（2，2）（5，1），（+）（5，1）（3，1）16故答案为：1613如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是EMC通过解三角形，求解即可解：连结ND，取ND 的中点为：E
18、，连结ME，则MEAN，异面直线AN，CM所成的角就是EMC，AN2，MEEN，MC2，又ENNC，EC，cosEMC故答案为：14如图三棱锥PABC，平面PBC平面ABC，已知PBC是等腰三角形，ABC是等腰直角三角形，若ABBC2，PBPC，球O是三棱锥PABC的外接球，则球O的表面积是 【分析】直接利用三棱锥体和球体的关系，三角形的中心的应用，勾股定理的应用和球的表面积公式的应用求出结果解：设该几何体的外接球的半径为R，如图所示：设点E为PBC的中心，所以PEECEB，利用CE212+（2PE）2，由于PECE，所以PE，故OD，在ABC中，利用勾股定理：，所以BD，所以，故故答案为：三
19、.解答题：(本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求角C的值；（2）若，b2a，求ABC的面积S【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围，可求C的值（2）由已知利用余弦定理可得a、b的值，进而利用三角形的面积公式即可求解解：（1）由正弦定理可得：sinA+sinBsinCcosAsinAsinC0，整理得，即，又因为A（0，），则sinA0，所以，即，又因为，所以，解得，（2）由余弦定理可得：c2a2+b22abcosCa2+b2ab，因为c2，b2a，解得a2，所以b4
20、，则三角形ABC的面积16如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD满足ABAD，BCAD，AD2BC，且M为PA的中点（1）求证：BM平面PCD；（2）若平面PAD平面ABCD，且DPDA，求证：平面BDM平面PAB【分析】（1）取PD的中点N，连结MN，CN，推导出四边形BMNC是平行四边形，得到BMCN，由此能证明BM平面PCD（2）推导出AB平面PAD，ABDM，DMPA，得到DM平面PAB，由此能证明平面BDM平面PAB【解答】证明：（1）取PD的中点N，连结MN，CN，M是PA的中点，MN是PAD的中位线，MNAD，MN，BCAD，BCAD，MNBC，四边形BMNC是平行四边形
21、，BMCN，BM平面PCD，CN平面PCD，BM平面PCD（2）平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，ABAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，DM平面PAD，ABDM，DPDA，M为PA的中点，DMPA，PA平面PAB，AB平面PAB，且PAABA，DM平面PAB，DM平面BDM，平面BDM平面PAB17天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：（1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分（2）已知样本中成绩在140
22、，150内的学生中有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，写出这个试验的样本空间；（用恰当的符号表达）设事件A：“选取的两人中至少有一名女生”，写出事件A的样本点，并求事件A发生的概率【分析】（1）根据频率分布直方图中求频数与平均数的算法计算即可解决此问题；（2）根据题意可算出成绩在140，150的人数是6，其中2名女生和4名男士，进行编号罗列样本点进行计算即可解决此问题解：（1）由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为：0.1（0.010+0.020+0.030+0.012）0.028，成绩不低于1（20分）的频率为：（0.030+0.028+0.012）100.7，所
23、以高三年级不低于1（20分）的人数为：0.71000700人平均分126.2；（2）由频率分布直方图知，成绩在140，150的人数是6，记女生为A，B，男生为c，d，e，f，从这6人中抽取2人的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种其中至少有一名女生的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf共9种，故至少有一名女生的概率18如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1ACBC2，ACB90，D，E分别是A1B1，CC1的中点（）求证：C1D平面A1BE；（）求直线AB与平面A1BE所成角的正弦值
24、；（）在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为60？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（）取AB的中点F，连结DF，交A1B于点M，可证C1DEM，利用线面平行的判定定理可得C1D平面A1BE；（）建立空间直角坐标系，求出平面A1BE的法向量，利用向量的夹角公式，可求直线AB与平面A1BE所成角的正弦值；（）假设在棱CC1上存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为60，求出平面PAB的法向量，根据向量的夹角公式，列方程求出点P坐标，即可得结论【解答】（）证明：取AB的中点F，连接DF，交A1B于点M，可知M为DF中点，连接EM，易知四边
25、形C1DME为平行四边形，所以C1DEM又C1D平面平面A1BE，EM平面A1BE，所以C1D平面A1BE（）解：如图建立空间直角坐标系Cxyz，则A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，1），A1（2，0，2）（2，2，0），（2，0，1），（0，2，1）设平面A1BE的法向量为（x，y，z），则，即令x1，则（1，1，2）所以cos，所以直线AB与平面A1BE所成角的正弦值为（）解：假设在棱CC1上存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为60，设P（0，0，c），0c2则（2，0，c），设平面PAB的法向量为（x，y，z），则，即，取xc，则（c，c，2），由（）知平面A1BE的法向量为（1，1，2）所以|cos，|，解得c2，故在棱CC1上存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为60，P点的坐标为（0，0，）