1、箭射雁头服群雄水浒传中写道，花荣把眼一观，随行人半数内却有带弓箭的，急取过一支好箭，便对晁盖道：“恰才兄长见说花荣射断绒绦，众头领似有不信之意，远远的有一行雁来，花荣未敢夸口，这支箭要射雁行内第三只雁的头上射不中时，众头领休笑”花荣搭上箭，拽满弓，觑得亲切，望空中只一箭射去，果然正中雁行内第三只，直坠落山坡下，急叫军士取来看时，那支箭正穿在雁头上，晁盖和众头领看了，尽皆骇然，都称花荣做“神臂将军”箭在古代又叫“矢”，物理上的“矢量”在数学中又叫“向量”本章将要学习平面向量的有关知识，通过本章的学习，我们将知道，平面向量的知识在生活中有着广泛的应用花荣有如此神功，说明他射箭的方向和距离(力度)掌
2、握的恰到好处那么花荣是如何掌控箭的方向和距离的呢？学完本章后，你就明白了1从位移、速度、力到向量Q老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，请问：猫能否追到老鼠(如图)?结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有长短、有方向的量生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？本节就来学习这方面的知识X1向量的概念既有_大小_，又有_方向_的量叫作向量2向量的表示方法(1)具有_方向和长度_的线段，叫作有向线段以A为始点，以B为终点的有向线段记作_，线段的长度也叫作有向线段的长度，记作|.(2)向量可以用_有向线段_来表示有向线
3、段的长度表示_向量的大小_，箭头所指的方向表示_向量的方向_.(3)向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，来表示，书写用，来表示3向量的长度(模)_|_(或_|a|_)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)4四种重要的向量(1)长度为零的向量叫作_零向量_，记作_0_或_，它的方向与任一向量平行(2)与向量a_同方向_，且长度为_单位1_的向量，叫作a方向上的单位向量，记作_a0_.(3)长度_相等_且方向_相同_的向量叫作相等向量，向量a与b相等，记作ab.规定所有的零向量_相等_.(4)如果表示两个向量的有向线段所在的直线_平行或重合_，则称这两个向量_平行_或_共线_，a与b平行或共线
4、，记作ab.知识点拨1.理解向量概念应关注的三点(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移(2)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等的向量2对平行向量、相等向量概念的理解(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0a，这里注意概念中提到的“非零向量”(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的(3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不
5、一定是相等向量Y1下列各量：密度；浮力；温度；风速其中向量有(C)ABCD解析主要考查向量与数量的区别由向量的概念可知：浮力和风速是向量，密度与温度是数量，故选C实际问题中的一些量(温度、电量等)，尽管它们有正、负之分，但不是表示方向的，它们是数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等物理量2下列关于向量的说法中，正确的是(C)A长度相等的两向量必相等B两向量相等，其长度不一定相等C向量的大小与有向线段的起点无关D向量的大小与有向线段的起点有关解析长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错；两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错；向量的大小与有向线段的起点并无关系
6、，故D错3如图，AC与BD相交于点O，则相等的向量是(D)A与B与C与D与解析，四边形ABCD为平行四边形AC与BD的交点O为BD中点，.4若对任意向量b，均有ab，则a为_0_.解析零向量可以与任意向量平行5设O是正ABC的中心，则向量，是_.(填上正确的序号)平行向量；模相等的向量；相等向量解析由O是正ABC的中心，知O点到三个顶点A，B，C的距离相等，但三个向量的方向既不相同也不相反，所以，的模相等H命题方向1向量的有关概念典例1给出下列几种说法：(1)温度、速度、位移这些物理量都是向量；(2)若|a|b|，则ab或ab；(3)向量的模一定是正数；(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个
7、向量是相等向量；(5)向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上其中正确的序号是_(4)_.思路分析本题涉及了向量的几个重要概念解答时可从向量定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错解析(1)错误，只有速度、位移是向量. (2)错误由|a|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系(3)错误.0的模|0|0.(4)正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同(5)错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、必须在同一直线上规律总结对于一些意义相近的概念，一定要准确把握，仔细分辨如有向线段与向量，不能
8、混同，有向线段是向量的几何表现形式，不仅有大小和方向，还有起点和终点，而向量只有大小和方向比如向量a的单位向量有两个，这两个单位向量方向相反再如向量共线与向量同向，共线不一定同向，但同向一定共线跟踪练习1给出下列说法：若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；在平行四边形ABCD中，一定有；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac.其中正确的序号为_.解析，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故不正确在平行四边形ABCD中，|，与平行且方向相同，所以，故正确若ab，则|a|b|，且a与b方向相同；若bc，则|b|c|，则b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，所以ac，故正确对于
9、，当b0时，a与c不一定平行，故不正确命题方向2相等向量与共线向量典例2以边长为2的正方形的中心O为起点，分别以各顶点、各边的中点为终点作出向量a、b、c、d、e、f、g、h.(1)在各边与已知正方形相应各边平行且边长为1的正方形ABCD中找出与它们相等的向量；(2)写出分别与、共线的向量思路分析(1)要找出具体相等向量，只需在正方形ABCD中分别找出长度相等且方向相同的向量即可；(2)共线向量只需找方向相同或相反的向量即可解析(1)作出图形如图，由已知，有|a|c|e|g|1，|b|d|f|h|，而在正方形ABCD中，|AB|CD|BC|AD|1，|AC|BD|.又已知两正方形对应边平行，所
10、以a，c，e，g，b，f，d，h.(2)已知两正方形对应边平行，则对应对角线也平行，所以与共线的向量有：a、e；与共线的向量有：c、g；与共线的向量有：b、f；与共线的向量有：d、h.规律总结(1)寻找相等向量要把握住向量的两要素：大小和方向，相等向量必须二者都相同才成立同时，也可以看出，向量是可以平移的，相等向量的起点并不一定要相同(2)对于非零向量，共线向量只需把握向量的方向要素，与向量的大小无关，故寻找非零共线向量时，只需判断两向量所在的直线是否共线或者重合即可跟踪练习2如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形(1)与向量相等的向量为_、_；(2)若|3，则向量的模等于_6_.解
11、析(1)在平行四边形ABCD和ABDE中，.(2)由(1)知，E、D、C三点共线，|2|6.X向量在平面几何中的应用典例3如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又.求证：CNMA.思路分析解析由可知ABDC且ABDC，所以四边形ABCD为平行四边形，从而.又M，N分别是BC，AD的中点，于是，所以ANMC且ANMC，所以四边形AMCN是平行四边形，从而CNMA且CNMA，即CNMA.规律总结利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法(1)证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度(模)相等(2)证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线常用的两个结论：若
12、，且A，B，C，D四点不共线，则四边形ABCD为平行四边形；若四边形ABCD为平行四边形，则.若，则A，B，C三点共线；若，则A，B，C三点共线跟踪练习3四边形ABCD中，且|，tan D，判断四边形ABCD的形状解析在四边形ABCD中，ABDC，四边形ABCD是平行四边形tan D，BD60.又|，ABC是等边三角形ABBC，故四边形ABCD是菱形Y混淆向量的有关概念典例4下列四个命题若|a|0，则a0；若|a|b|，则ab或ab；若ab，则|a|b|；若a0，则a0.其中正确命题的个数是()A1B2C3D4错解D辨析认为正确是忽略了0和0的区别由|a|0可知a是零向量，但是a0，之所以出现
13、这样的错误原因是对零向量的概念认识不清；认为正确是把两个向量的模相等和两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，并不意味着它们的方向是相同或相反的；认为正确是因为对两个向量平行的意义理解不透造成的，两个向量平行，可以得到它们的方向相同或相反，而未必得到它们的模相等，正确正解A跟踪练习4下列说法正确的是(C)A平行向量就是向量所在直线平行的向量B长度相等的向量叫相等向量C零向量的长度为0D共线向量是在一条直线上的向量解析平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错故选CK1若a为任一
14、非零向量，b为单位向量，则下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|1；b.其中正确的是(B)ABCD解析|a|不一定大于1，|b|1，不正确；a与b不一定平行，故不正确.是a方向上的单位向量，不一定平行于b，故不正确2如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与相等的向量是(D)ABCD解析与方向相同且长度相等，则.3在四边形ABCD中，|，则四边形ABCD是(A)A梯形B平行四边形C矩形D正方形解析，ABCD.又|，ABCD.四边形ABCD是梯形4在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则它们的终点组成_一个圆_.解析模长相等的向量放在同一起点上，则各终点到该起点的距离相等，所以各终点应在同一个圆上
