1、1.4一元二次方程与一元二次不等式必备知识预案自诊知识梳理一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式=b2-4ac0=00)的图象ax2+bx+c=0(a0)的根有两个不相等的实数根x1,x2(x10(a0)的解集x|xx2xx-b2aRax2+bx+c0)的解集x|x1x0f(x)g(x)0.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)二次函数y=ax2+bx+c(xR),当x=-b2a时,y取得最小值为4ac-b24a.()(2)一元二次函数y=ax2+bx+c(xR)的函数值恒为负的充要条件是a0,b2-4ac0.()(3)若关于x的不等式ax
2、2+bx+c0.()(4)不等式x-2x+10的解集是-1,2.()(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为R.()2.(2020辽宁沈阳模拟)满足关于x的不等式(ax-b)(x-2)0的解集为x12x2,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是.3.(2019天津,文10)设xR,使不等式3x2+x-20成立的x的取值范围为.4.不等式(x+3)(1-x)0的解集为.5.对于任意实数x,不等式mx2+mx-10恒成立,则实数m的取值范围是.关键能力学案突破考点一元二次不等式的解法(多考向探究)考向1不含参数的一元二次不等式【
3、例1】解下列不等式:(1)2x2+5x-30;(4)-x2+6x-100.解题心得1.解一元二次不等式的4个步骤变把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式判计算对应方程的判别式求求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实数根写利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集2.求解不含参数的一元二次不等式口诀函数方程不等式,图象交点是标志;首项系数先化正,判别式,符号定;若为正,记口诀,小于中间大于侧.考向2含参数的一元二次不等式【例2】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10).解题心得解含参数的一元二次不等式的步骤对点训练1(1)不等式-2x2+x+30的解集是()A.x|x
4、32C.x-1x32D.xx32(2)(2020云南玉溪一中月考)不等式x+5(x-1)22的解集是()A.-3,12B.-12,3C.12,1(1,3D.-12,1(1,3(3)(2020福建厦门模拟)求不等式12x2-axa2(aR)的解集.考点一元二次不等式的实际应用问题【例3】某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)年
5、销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?解题心得解不等式应用题的步骤对点训练2如图所示,某小区内有一个矩形花坛ABCD,现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=3 m,AD=2 m.要使矩形AMPN的面积大于32 m2,则DN的长度应在什么范围内?考点三个“二次”关系的应用【例4】设抛物线y=x2+mx+2与以A(0,1),B(2,3)为端点的线段总有两个交点,求m的取值范围.解题心得一元二次不等式解集逆向应用问题
6、的解法及步骤(1)求解方法:由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根,从而由根与系数的关系,找出系数a,b,c之间的关系,写出不等式的解集.(2)求解步骤:第一步:审结论明确解题方向如要解cx2+bx+a0,首先确定c的符号,最好能确定a,b,c的值.第二步:审条件挖掘题目信息利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a,b,c的方程组,用a表示b,c.第三步:建联系找解题突破口由给定不等式的解集形式确定关于a,b,c的方程组用a表示b,c代入所求不等式求解cx2+bx+a0的解集.对点训练3设变量x满足x2+bx-x(b-1),并且x2+bx的最小值是-12,求b.考点一元二
7、次不等式恒成立问题(多考向探究)考向1在R上恒成立【例5】(2020北京东城高三模拟)若一元二次不等式2kx2+kx-380(a0)恒成立的充要条件是a0,b2-4ac0.(2)ax2+bx+c0(a0)恒成立的充要条件是a0,b2-4ac0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为m,n,则f(x)a恒成立f(x)mina,即ma;f(x)a恒成立f(x)maxa,即na.对点训练4(1)(2020山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2-4xm对任意x(0,1恒成立,
8、则实数m的取值范围为()A.(-,-3B.-3,+)C.-3,0)D.-4,+)(2)(2020河北石家庄模拟)若不等式x2+mx-10,x1x2=m0,解得m|0m1;(2)=(m-3)2-4m0,3-m0,解得m|m9;(3)0,m0,解得m|m0.【例2】关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围:(1)一个根大于1,一个根小于1;(2)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;(3)一个根小于2,一个根大于4;(4)两个根都在(0,2)内.思考对于此题韦达定理适合吗?还有哪些方法可以解决此问题呢?能否利用数形结合的思想列出符合题意的不等式?解令f(x)=x
9、2+(m-3)x+m,(1)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根大于1,一个根小于1,则f(1)=2m-20,解得m0,f(0)=m0,解得-45m0,故m的取值范围为-45,0.(3)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根小于2,一个根大于4,则f(2)=3m-20,f(4)=5m+40,2-m-324,解得-5m0,f(0)=m0,0-m-322,=(m-3)2-4m0,解得230)满足下列条件,请画出方程对应函数的图象,列出满足条件的不等式.(1)一个根在(m,n)内,另一根在(p,q)内;(2)两个根都在(m,n)内.解(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0),满足题意的图象如
10、图,则f(m)f(n)0,f(p)f(q)0.(2)0,m-b2a0,f(n)0.归纳小结设函数f(x)=ax2+bx+c=0(a0)分布情况两根都在(m,n)内两根有且仅有一根在(m,n)内一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内大致图象(a0)得出的结论0,f(m)0,f(n)0,m-b2anf(m)f(n)0,f(n)0,f(p)0,或f(m)f(n)0,f(p)f(q)0大致图象(a0)得出的结论0,f(m)0,f(n)0,m-b2anf(m)f(n)0f(m)0,f(p)0,f(q)0,或f(m)f(n)0,f(p)f(q)0的解集为x12x2,方程(ax-b)(x-2)=0的实数根
11、为12和2,且a0,ba=12,即a=2b0,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是(-2,-1).3.-1,23由3x2+x-20,得(x+1)(3x-2)0.解得-1x23.满足题意的x的取值范围是-1,23.4.x|-3x1由题知,(x+3)(1-x)0,即(x+3)(x-1)0,解得-3x1,所以不等式的解集为x|-3x1.5.(-4,0当m=0时,mx2+mx-1=-10,不等式恒成立;当m0时,由m0,=m2+4m0,解得-4m0,方程2x2+5x-3=0的两根为x1=-3,x2=12,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图1所示.由图可得原不等式的解集为x-3x0,解方
12、程3x2-6x+2=0,得x1=3-33,x2=3+33,作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图2所示,由图可得原不等式的解集为xx3-33,或x3+33.图3(3)=0,方程4x2+4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=-12.作出函数y=4x2+4x+1的图象如图3所示.由图可得原不等式的解集为xx12,xR.(4)原不等式可化为x2-6x+100,=-40,方程x2-6x+10=0无实根,原不等式的解集为.例2解原不等式变为(ax-1)(x-1)0,所以x-1a(x-1)1时,解得1ax1;当a=1时,解集为;当0a1时,解得1x1a.综上,当0a1时,不等式的解集为x1x1时,不等
13、式的解集为x1ax1.对点训练1(1)D(2)D(1)不等式-2x2+x+30,因为=(-1)2-42(-3)=250,所以方程2x2-x-3=0的两根为x1=-1,x2=32.又二次函数y=2x2-x-3的图象开口向上,所以不等式-2x2+x+30的解集是xx32,故选D.(2)不等式可化为2x2-5x-3(x-1)20,即(2x+1)(x-3)(x-1)20,则2x+10,x-30,x-10,解得-12x1,或10,即(4x+a)(3x-a)0,令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-a4,x2=a3.当a0时,不等式的解集为-,-a4a3,+;当a=0时,不等式的解集为(-,0)(0
14、,+);当a0时,不等式的解集为-,a3-a4,+.例3解(1)由题意,得y=1.2(1+0.75x)-1(1+x)1000(1+0.6x)(0x1),整理得y=-60x2+20x+200(0x0,0x0,0x1,解得0x0)m,则AN的长为(x+2)m.因为DNAN=DCAM,所以AM=3(x+2)x,所以S矩形AMPN=ANAM=3(x+2)2x.由S矩形AMPN32,得3(x+2)2x32.又x0,得3x2-20x+120,解得0x6.即DN的长的取值范围是0,23(6,+).例4解线段AB的方程为y=x+1(0x2),代入抛物线方程得x2+(m-1)x+1=0.则问题转化为方程f(x)
15、=x2+(m-1)x+1=0在0,2上总有两个根.由题可得f(0)=10,f(2)=2m+30,0,0-m-123或m-1,-3m1.故m的取值范围是-32,-1.对点训练3解由x2+bx-x,得xx+(b+1)0.又b-1,b+10,则0x-(b+1).令f(x)=x2+bx,则f(x)=x+b22-b24.求f(x)在的范围内的最小值.(1)若-(b+1)-b2,即-2b-1,则f(x)在x=-(b+1)时取到最小值,f(x)min=f(-b-1)=b2+12-b24=b+1,因而b+1=-12,即b=-32.(2)若-b2-(b+1),即b-2,则f(x)在x=-b2时取到最小值,f(x
16、)min=f-b2=-b24,因而-b24=-12,即b=2.b=2不满足b-2,故b=2舍去.综上,得b=-32.例5D一元二次不等式2kx2+kx-380对一切实数x都成立,则必有2k0,=k2-42k(-38)0,解得-3k0.例6A(方法1)令f(x)=x2-2x+a,则由题意,得f(-1)=(-1)2-2(-1)+a0,f(2)=22-22+a0,解得a-3,故选A.(方法2)当x-1,2时,不等式x2-2x+a0恒成立,等价于a-x2+2x恒成立,即在区间-1,2上,a小于函数f(x)=-x2+2x的最小值.而f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,则当x=-1时,f(x)mi
17、n=-3,故可得a-3,故选A.对点训练4(1)A(2)-22,0(1)x2-4xm对任意x(0,1恒成立,令f(x)=x2-4x,f(x)图象的对称轴为直线x=2,则f(x)在(0,1上单调递减,当x=1时,f(x)取到最小值为-3,即实数m的取值范围是(-,-3,故选A.(2)由题意,得函数f(x)=x2+mx-1在m,m+1上的最大值小于0,又抛物线f(x)=x2+mx-1开口向上,所以f(m)=m2+m2-10,f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)-10,即2m2-10,2m2+3m0,解得-22m0,-a20,-a22,g(2)=7+a0.解得-6a2,或a=,或-7a-6.综上可知,实数a的取值范围为-7,2.