1、2.1.3向量的减法|目 标 索 引|1知道向量减法的定义，理解相反向量的意义2掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量.1向量的减法如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量2相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a.(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)(a)a；(3)a(a)(a)a0；(4)若a与b互为相反向量，则ab，ba，ab0.1若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且a，b，用a，b表示向量为()AabB.abCabD.ab解析：如图所示：ab，故选B.答案：B2设b是a
2、的相反向量，则下列说法一定错误的是()Aa与b的长度相等BabCa与b一定不相等Da是b的相反向量答案：C3化简：_.解析：0.答案：0化简：()()【分析】向量的加法、减法是互逆的，故本题有多种解题思路可利用的相反向量是，将题目中的减法都转化为加法，从而根据向量加法的三角形法则来化简；也可利用，进行化简；另外还可以利用关系进行化简【解】解法一：()()()()0.解法二：()()()()0.解法三：设O为平面内任意一点，则有()()()()()()0.【知识点拨】解决这类题目要注意方法统一，如都将减法转化为加法来运算；其次应注意向量加法交换律和结合律的灵活运用其中解法三为我们提供了一种不需要
3、平移，就能将平面内的任一向量转化为以一确定点为起点的向量的方法，从而使问题转化成有共同起点的向量问题这种方法以后经常会用到，必须熟练掌握(1)下列四式中不能化简为的是()A() B.()()C. D.(2)化简后的结果为()A. B.C. D.解析：(1)对于A有；对于B有()()；对于C有()，只有D无法化简为.(2)原式()()0，选B.答案：(1)D(2)B如图，已知a，b，c，d，f，试用a，b，c，d，f表示下列向量：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).解：(1)ca.(2)da.(3)db.(4)bafc.(5)()fd.如图，已知正方形ABCD的边长等于单位长度1，a，b，c
4、，试作向量abc，并求出它的模【解】由ab，作，则，即abc.又BCF BCD，D，C，F共线，从而|2|a|2.如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.解：解法一：如图(1)所示，在平面内任取一点O，作a，b，再作c，则abc.解法二：如图(2)所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.已知|a|6，|b|8，且|ab|ab|，求|ab|.【分析】两个向量不共线，则a，b，ab，ab组成一个平行四边形的边与对角线求模的运算往往与模的平方有关【解】设a，b，以AB，AD为邻边作ABCD，则ab，ab.因为|ab|ab|，所以|.又四边形ABCD为平行四边形，所以四边
5、形ABCD为矩形故ADAB.在RtDAB中，|6，|8，由勾股定理，得| 10.所以|ab|10.【知识点拨】非零向量a，b的差向量的三角不等式(1)当a，b不共线时，如图，作a，b，则ab.(2)当a，b共线且同向时，若|a|b|，则ab与a，b同向(图)，于是|ab|a|b|；若|a|b|，则ab与a，b反向(图)，于是|ab|b|a|.(3)当a，b共线且反向时，ab与a同向，与b反向于是|ab|a|b|(图)可见，对任意两个向量，总有向量不等式成立：|a|b|ab|a|b|.说明：若a，b至少有一个零向量时，向量不等式的等号成立设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|4，|，则|(
6、)A8 B.4C2 D.1解析：以，为邻边作平行四边形ACDB，由|可知，|，四边形ACDB是矩形，则AM为RtABC斜边BC上的中线，所以|2，故选C.答案：C1下列向量的运算中，正确的是()A. B.C. D.答案：C2已知平行四边形ABCD，O是平行四边形ABCD所在平面内任意一点，a，b，c，则向量等于()Aabc B.abcCabc D.abc解析：b.abcb，故选C.答案：C3下列等式中，正确的个数为()0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)；a(a)0.A3B.4 C5D.6解析：正确，故选C.答案：C4给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中所有正确命题的序号为_解析：若，则四边形ODME是平行四边形，如图：；，故均正确答案：5边长为1的正三角形ABC中，|的值为()A1 B.2C. D.解析：如图，在正三角形ABC中，过A作AD綊BC，则，|，故选D.答案：D