1、江苏省南通市2020届高三数学下学期二模考前综合练习试题（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.记复数za+bi（i为虚数单位）的共轭复数为，已知z2+i，则_【答案】34i【解析】【分析】计算得到z2（2+i）23+4i，再计算得到答案.【详解】z2+i，z2（2+i）23+4i，则故答案为：34i【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.2.已知集合U1,3,5,9，A1,3,9，B1,9，则U(AB)_.【答案】5【解析】易得ABA1,3,9，则U(AB)53.某校共有师生1600人，其中教师有1000人，
2、现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_【答案】30【解析】【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】分层抽样的抽取比例为，抽取学生的人数为60030故答案为：30【点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.4.角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（）的值是_【答案】【解析】【分析】计算sin，再利用诱导公式计算得到答案.【详解】由题意可得x1，y2，r，sin，sin（）sin故答案为：【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力.5.执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_【
3、答案】28【解析】【分析】根据程序框图直接计算得到答案.【详解】程序在运行过程中各变量取值如下所示：是否继续循环 i x循环前 1 4 第一圈 是 4 4+2第二圈 是 7 4+2+8第三圈 是 10 4+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28故答案为：28【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.6.设、为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：若mn，则m；若m，n，m，n，则；若，m，n，则mn；若，m，n，mn，则n；其中正确命题的序号为_【答案】【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解
4、】对于，当mn时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m，错误；对于，当m，n，且m，n时，由两平面平行的判定定理，不能得出，错误；对于，当，且m，n时，由两平面平行的性质定理，不能得出mn，错误；对于，当，且m，n，mn时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n，正确；综上知，正确命题的序号是故答案为：【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.7.已知函数f(x)若关于x的方程f(x)kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】由图可知，当直线ykx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，ykx与yf(x)的图像有两个不同交点，即
5、方程有两个不相同的实根8.已知关于x的不等式（axa24）（x4）0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为_【答案】-2【解析】【分析】讨论三种情况，a0时,根据均值不等式得到a（a）24，计算等号成立的条件得到答案.【详解】已知关于x的不等式（axa24）（x4）0，a0时，x（a）（x4）0，其中a0，故解集为（a，4），由于a（a）24，当且仅当a，即a2时取等号，a的最大值为4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为2；a0时，4（x4）0，解集为（，4），整数解有无穷多，故a0不符合条件； a0时，x（a）（x4）0，其中a4，故解集为（，4）（a
6、，+），整数解有无穷多，故a0不符合条件；综上所述，a2故答案为：2【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9.已知双曲线（a0，b0）的两个焦点为、，点P是第一象限内双曲线上的点，且，tanPF2F12，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】根据正弦定理得，根据余弦定理得2PF1PF2cosF1PF23，联立方程得到，计算得到答案.【详解】PF1F2中，sinPF1F2，sinPF1F2，由正弦定理得，又，tanPF2F12，tanF1PF2tan（PF2F1+PF1F2），可得cosF1PF2，PF1F2中用余弦定理，得2PF1PF2cosF1P
7、F23，联解，得，可得，双曲线的，结合，得离心率.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.10.记Sk1k+2k+3k+nk，当k1，2，3，时，观察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，S5An6n5n4+Bn2，可以推测，AB_【答案】【解析】【分析】观察知各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据此计算得到答案.【详解】根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1，最高次项的系数为该项次数的倒数，A，A1，解得B，所以AB故答案为：【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.11.设函数，若对于任意
8、的，2，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意得函数在2，上单调递增，当时在2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是考点：函数单调性12.已知平面向量，满足|1，|2，的夹角等于，且（）（）0，则|的取值范围是_【答案】【解析】【分析】计算得到|，|cos1，解得cos，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.【详解】由（）（）0 可得 （）|cos12cos|cos1，为与的夹角再由 21+4+212cos7 可得|，|cos1，解得cos0，1cos1，1，即|+10，解得 |，故答案为【点睛】本题考查了向量模的范围，意在考查学生的
9、计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.13.在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为_【答案】3【解析】【分析】设直线AB的方程为ykx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k0），联立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【详解】设直线AB的方程为ykx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx0，所以x0或xA的坐标（0，1），B的坐标为（，k1），即B（，），因此AB，同理可得：ACRtABC的面积为SABAC令t，得S
10、.t2，SABC.当且仅当，即t时，ABC的面积S有最大值为.解之得a3或a.a时，t2不符合题意，a3.故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.14.设f（x）etx（t0），过点P（t，0）且平行于y轴的直线与曲线C：yf（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，若S（1，f（1），则PRS的面积的最小值是_【答案】【解析】【分析】计算R（t，0），PRt（t），PRS面积为S，导数S，由S0得t1，根据函数的单调性得到最值.【详解】PQy轴，P（t，0），Q（t，f（t）即Q（t，），又f（x）etx（t0）的导数f（x）te
11、tx，过Q的切线斜率kt，设R（r，0），则k，rt，即R（t，0），PRt（t），又S（1，f（1）即S（1，et），PRS的面积为S，导数S，由S0得t1，当t1时，S0，当0t1时，S0，t1为极小值点，也为最小值点，PRS的面积的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了利用导数求面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角， （1）求的值； （2）求边的长.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由，分别求得
12、，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出【详解】(1)因为角 为钝角， ，所以 ，又 ，所以 ，且 ，所以 .(2)因为 ，且 ，所以 ，又 ，则 ，所以 .16.如图，四棱锥VABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，VO平面ABCD，E是棱VC的中点（1）求证：VA平面BDE；（2）求证：平面VAC平面BDE【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连结OE，证明VAOE得到答案.（2）证明VOBD，BDAC，得到BD平面VAC，得到证明.【详解】（1）连结OE因为底面ABCD是菱形，所以O为AC的中点，又因为E是棱VC的中点，所以VAOE，又因为O
13、E平面BDE，VA平面BDE，所以VA平面BDE；（2）因为VO平面ABCD，又BD平面ABCD，所以VOBD，因为底面ABCD是菱形，所以BDAC，又VOACO，VO，AC平面VAC，所以BD平面VAC又因为BD平面BDE，所以平面VAC平面BDE【点睛】本题考查了线面平行，面面垂直，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.17.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y290相切（1）求圆的方程；（2）设直线axy+50（a0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（2，4），若存在，求出实
14、数a的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）（x1）2+y225（2）（）（3）存在，【解析】分析】（1）设圆心为M（m，0），根据相切得到，计算得到答案.（2）把直线axy+50，代入圆的方程，计算4（5a1）24（a2+1）0得到答案.（3）l的方程为，即x+ay+24a0，过点M（1，0），计算得到答案.【详解】（1）设圆心为M（m，0）（mZ）由于圆与直线4x+3y290相切，且半径为5，所以 ，即|4m29|25因为m为整数，故m1故所求圆的方程为（x1）2+y225（2）把直线axy+50，即yax+5，代入圆的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+2（5a1）x+10，由于直线a
15、xy+50交圆于A，B两点，故4（5a1）24（a2+1）0，即12a25a0，由于a0，解得a，所以实数a的取值范围是（）（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+24a0，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+24a0，解得由于，故存在实数使得过点P（2，4）的直线l垂直平分弦AB.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角CAD60（1）求BC的长度；（2）在线
16、段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为APB，DPC，问点P在何处时，+最小？【答案】（1）；（2）当BP为cm时，+取得最小值【解析】【分析】（1）作AECD，垂足为E，则CE10，DE10，设BCx，根据得到，解得答案.（2）设BPt，则，故，设，求导得到函数单调性，得到最值.【详解】（1）作AECD，垂足为E，则CE10，DE10，设BCx，则，化简得，解之得，或（舍），（2）设BPt，则，设，令f（t）0，因为，得，当时，f（t）0，f（t）是减函数；当时，f（t）0，f（t）是增函数，所以，当时，f（t）取得最小值，即tan（+）取得最小值，因为恒
17、成立，所以f（t）0，所以tan（+）0，因为ytanx在上是增函数，所以当时，+取得最小值【点睛】本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.设首项为1的正项数列an的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数（1）求p的值；（2）求证：数列an为等比数列；（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x1，且y2”【答案】（1）p2；（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）取n1时，由得p0或2，计算排除p0的情况得到答案.（2），则，相减得到3an+14Sn+1Sn，再化简得到，得到证
18、明.（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得2x2y21，设kx（y2），计算得到k1，得到答案.【详解】（1）n1时，由得p0或2，若p0时，当n2时，解得a20或，而an0，所以p0不符合题意，故p2；（2）当p2时，则，并化简得3an+14Sn+1Sn，则3an+24Sn+2Sn+1，得（nN*），又因为，所以数列an是等比数列，且；（3）充分性：若x1，y2，由知an，2xan+1，2yan+2依次为，满足，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；必要性：假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y
19、均为整数，又，所以，化简得2x2y21，显然xy2，设kx（y2），因为x、y均为整数，所以当k2时，2x2y21或2x2y21，故当k1，且当x1，且y20时上式成立，即证【点睛】本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.20.已知函数，且（1）当时，求函数的减区间；（2）求证：方程有两个不相等的实数根；（3）若方程的两个实数根是，试比较，与的大小，并说明理由【答案】（1）（2）详见解析（3）【解析】【详解】试题分析：（1）当时，由得减区间；（2）因为，所以，因为所以，方程有两个不相等的实数根；（3）因为，所以试题解析：（1）当时，由得减区间； （2）法1
20、：， 所以，方程有两个不相等的实数根； 法2：， ，是开口向上的二次函数，所以，方程有两个不相等的实数根； （3）因为， ， 又在和增，在减，所以 考点：利用导数求函数减区间，二次函数与二次方程关系本题包括A，B共1小题，每小题10分，共20分把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4-2：矩阵与变换21.试求曲线ysinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N【答案】y2sin2x【解析】【分析】计算MN，计算得到函数表达式.【详解】M，N，MN， 在矩阵MN变换下， 曲线ysinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y2sin2x【点睛】本题考查了矩阵变换，意在
21、考查学生的计算能力.选修4-4：极坐标与参数方程22.已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为（为参数）（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l被圆截得的弦长【答案】（1）x2+y2100（2）16【解析】【分析】（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案.（2）圆心到直线的距离为，故弦长为得到答案.【详解】（1），即，即，即.，故.（2）圆心到直线的距离为，故弦长为.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤23.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩
22、形，平面ABEF平面ABCD，EFAB，BAF90，AD2，ABAF2EF2，点P在棱DF上（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（2）若二面角DAPC的正弦值为，求PF的长度【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则（1，0，2），（2，1，1），计算夹角得到答案.（2）设，01，计算P（0，2，22），计算平面APC的法向量（1，1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根据夹角公式计算得到答案.【详解】（1）BAF90，AFAB，又平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF平面ABCDAB，AF平面
23、ABCD，又四边形ABCD矩形，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，AD2，ABAF2EF2，P是DF的中点，B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），（1，0，2），（2，1，1），设异面直线BE与CP所成角的平面角为，则cos，异面直线BE与CP所成角的余弦值为（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），01，即（a，b，c2）（0，2，2），解得a0，b2，c22，P（0，2，22），（0，2，22），（2，2，0），设平面APC的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，
24、1，），平面ADP的法向量（1，0，0），二面角DAPC的正弦值为，|cos|，解得，P（0，），PF的长度|PF|【点睛】本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤24.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.【答案】（1），的分布列为0123P(1a)2(1a2)(2aa2)（2）【解析】(1)P()是“个人命中，3个人未命中”的概率其中的可能取值为0、1、2、3.P(0)(1a)2(1a)2；P(1)(1a)2a(1a)(1a2)；P(2)a(1a)a2(2aa2)；P(3)a2.所以的分布列为0123P(1a)2(1a2)(2aa2)的数学期望为E()0(1a)21(1a2)2(2aa2)3.(2)P(1)P(0)(1a2)(1a)2a(1a)；P(1)P(2)(1a2)(2aa2)；P(1)P(3)(1a2)a2.由和0a1，得0a，即a的取值范围是.