1、选修44坐标系与参数方程选修44第一节坐标系授课提示：对应学生用书第198页基础梳理1坐标系(1)坐标变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点(x，y)，称为坐标系中的伸缩变换(2)极坐标系在平面内取一个定点O，叫作极点；自极点O引一条射线Ox，叫作极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系设M是平面内任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为，有序数对(，)叫作点M的极坐标，记为M(，)2直角坐标与极坐
2、标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴非负半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则3常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r圆心为(r，0)，半径为r的圆2rcos 圆心为，半径为r的圆2rsin (00)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解析(1)因为M(0，0)在曲线C上，当0时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.设Q(，)为l上除P外的
3、任意一点在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上，所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因为P在线段OM上，且APOM，所以的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos ，.破题技法1.将0代入4sin 求得0.由0可求得|OP|，从而求得l的极坐标方程2设点P(，)，用，表示出RtAOP中的边角关系，从而求出P点轨迹的极坐标方程(2019高考全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1，0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧
4、.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标解析：(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos ，2sin ，2cos .所以M1的极坐标方程为2cos ，M2的极坐标方程为2sin ，M3的极坐标方程为2cos .(2)设P(，)，由题设及(1)知若0，则2cos ，解得；若，则2sin ，解得或；若，则2cos ，解得.综上，P的极坐标为或或或.考点三极坐标与直角坐标的互化例(2018高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2
5、的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解析(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1，0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l
6、1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.破题技法极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)将极坐标方程两边同乘或同时平方，将极坐标方程构造成含有cos ，sin ，2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程(2)巧借两角和差公式，转化sin()或cos()的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程(3)将直角坐标方程中的x转化为cos ，将y换成sin ，即可得到其极坐标方程在直角坐标系
7、xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解析：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos2 8sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16co
8、s2 8sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上所以a1.考点四极坐标方程的应用例在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解析(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)
9、2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos |sin|2|sin|2.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.破题技法1.涉及圆的极坐标方程的解决方法方法一：先把涉及的直线或圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直角坐标系中的相关知识进行求解；方法二：直接利用极坐标的相关知识进行求解，其关键是将已知条件表示成和之间的关系这一过程需要用到解三角形的知识，并需要掌握直线和圆的极坐标方程2判断位置关系和求最值问题的方法(1)已知极坐标方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程，化陌生为熟悉再进行解
10、答(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，比直角坐标系中求最值的运算量小(2020山西太原模拟)点P是曲线C1：(x2)2y24上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线(0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2，0)，求MAB的面积解析：(1)由曲线C1的直角坐标方程(x2)2y24可得曲线C1的极坐标方程为4cos .设Q(，)，则P，则有4cos4sin .所以曲线C2的极坐标方程为4sin .(2)M到射线(0)的距离d2sin，|AB|BA42(1)，则SMAB|AB|d2(1)3.