1、第一课时等比数列的概念与通项公式课标要求素养要求1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.体会等比数列与指数函数的关系.在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.新知探究我国古代数学名著孙子算经中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”问题1你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？提示构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98.问题2根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？提示上述数列中，从第2项起，每一项
2、与前一项的比都是9，这种数列称为等比数列.1.等比数列的定义及通项公式等比数列定义中的关键词：从第2项起，同一个常数(1)等比数列的定义和通项公式(2)通项公式的拓展：anamqnm(n，mN*，q0).(3)等比数列的通项公式与指数型函数的关系当q0且q1时，等比数列an的第n项an是指数型函数f(x)qx(xR)当xn时的函数值，即anf(n).任给指数型函数f(x)kax(k，a是常数，k0，a0且a1)，则f(1)ka，f(2)ka2，f(n)kan，构成一个等比数列kan，其首项为ka，公比为a.2.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比
3、中项，此时G2ab.拓展深化微判断1.等比数列的公比可以为任意实数.()提示公比不可以为0.2.若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.()提示应为同一个常数.3.常数列既是等差数列又是等比数列.()提示0数列除外.微训练1.等比数列an中，a13，公比q2，则a5()A.32 B.48 C.48 D.96解析a5a1q432448.答案C2. 等比数列x，3x3，6x6，的第4项等于()A.24 B.0 C.12 D.24解析由x，3x3，6x6成等比数列得，(3x3)2x(6x6)，解得x13或x21(不合题意，舍去)，第2项为6.第3项为12，公比为2，故数
4、列的第4项为24.答案A3.4与16的等比中项是_.解析由G241664得G8.答案8微思考1.等比中项与等差中项有什么区别？提示(1)任意两数都存在等差中项，但不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时，才存在等比中项.(2)任意两数的等差中项是唯一的，而如果两数有等比中项，则这两数的等比中项有两个，且互为相反数.2.设等比数列an的首项为a1，公比为q，当a1与q分别满足什么条件时，an是递增数列，an是递减数列？提示(1)或an为递增数列，(2)或an为递减数列.题型一等比数列通项公式的应用【例1】在等比数列an中：(1)已知a3a636，a4a718，an，求n；(2)已
5、知a58，a72，an0，求an.解设等比数列an的公比为q.(1)由得q.再由a3a6a3(1q3)36得a332，则ana3qn332，所以n81，所以n9.(2)由a7a5q2得q2.因为an0，所以q，所以ana5qn58.规律方法等比数列的通项公式及变形的应用1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式ana1qn1(a1q0)可求出等比数列中的任意一项.2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用anamqnm(q0)也可求出等比数列中的任意一项.【训练1】(1)在等比数列an中，如果a1a418，a2a312，那么这个数列的公比为()A.2 B. C.2或 D.2或(2)已
6、知等比数列an中，a32，a4a616，则()A.16 B.8 C.4 D.2解析(1)设等比数列an的公比为q(q0)，a1a418，a2a312，a1(1q3)18，a1(qq2)12，q1，化为2q25q20，解得q2或.故选C.(2)等比数列an中，设其公比为q(q0)，a32，a4a616，解得q44，故选C.答案(1)C(2)C题型二等比中项及其应用【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2a542，求a5，a7的等比中项.解设该等比数列的公比为q，首项为a1，1q3(1q)(1qq2)，上述两式相除，得q(1q)，q.a196.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2a5a7a1
7、q4a1q6aq109629.a5，a7的等比中项是3.规律方法(1)首项a1和公比q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.【训练2】(1)三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是_.(2)在等差数列an中，a30.如果ak是a6与ak6的等比中项，那么k_.解析(1)设这三个数所成等比数列中的项依次为，a，aq(aq0)，则aaq14，aaq64，即a14，a364，解得a4，q或2.故这三个数所成的等比数列为8，4，2或2，4，8.(2)
8、设等差数列an的公差为d，由题意得a3a12d0，a12d.又ak是a6与ak6的等比中项，aa6ak6，即a1(k1)d2(a15d)a1(k5)d，(k3)d23d(k3)d，解得k9或k0(舍去).答案(1)2，4，8或8，4，2(2)9题型三等比数列的判定【例3】已知数列an的前n项和为Sn，Sn(an1)(nN*).(1)求a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列.(1)解由S1(a11)，得a1(a11)，a1.又S2(a21)，即a1a2(a21)，得a2.(2)证明当n2时，anSnSn1(an1)(an11)，得.又a1，所以an是首项为，公比为的等比数列.【迁移1】已知数
9、列an满足a11，an12an1，bnan1(nN*).(1)求证：bn是等比数列；(2)求an的通项公式.(1)证明an12an1，bnan1，bn1an112an22(an1)2bn，又b1a112，数列bn是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)解由(1)知，an122n1，an2n1.【迁移2】已知数列an中，a1，an1an，求an.解令an1A，则an1an.由已知条件知1，得A3，所以an13.又a130，所以是首项为，公比为的等比数列.于是an3，故an32.规律方法判断一个数列是否是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列an满足q(nN*，q为常数且不为零)或q(n2，nN*
10、，q为常数且不为零)，则数列an是等比数列.(2)通项公式法：若数列an的通项公式为ana1qn1(a10，q0)，则数列an是等比数列.(3)等比中项法：若aanan2(nN*且an0)，则数列an为等比数列.(4)构造法：在条件中出现an1kanb，kb(k1)0关系时，往往构造数列，方法是把an1xk(anx)与an1kanb对照，求出x即可.注：第(1)、(3)也可作为等比数列的证明方法.【训练3】已知数列an满足a12，an12an4.证明：数列an4是等比数列.证明a12，a142.an12an4，an142an82(an4)，2，an4是以2为首项，2为公比的等比数列.一、素养落
11、地1.通过学习等比数列的概念及判断方法提升数学抽象及逻辑推理素养，通过运用等比数列的通项公式求项或公比、项数，提升数学运算素养.2.等比数列的证明(1)利用定义：q(与n无关的常数).(2)利用等比中项：aanan2(nN*).3.两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个()，而不是一个()，这是容易忽视的地方.4.等比数列的通项公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.二、素养训练1.(多选题)下列说法正确的有()A.等比数列中的项不能为0B.等比数列的公比的取值范围是RC.若一个常数列是等比数列，则公比为1D.22，42，62，82，
12、成等比数列解析A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错；C显然正确；由于，故不是等比数列，D错.答案AC2.在等比数列an中，a18，a464，则a3等于()A.16 B.16或16C.32 D.32或32解析由a4a1q3，得q38，即q2，所以a332.答案C3.已知a是1，2的等差中项，b是1，16的等比中项，则ab等于()A.6 B.6 C.6 D.12解析a，b2(1)(16)16，b4，ab6.答案C4.45和80的等比中项为_.解析设45和80的等比中项为G，则G24580，G60.答案60或605.已知数列an中，a14，an12an5，求证an5是等比数列.证明由an12a
13、n5得an152(an5).又a1510，故数列an5是首项为1，公比为2的等比数列.基础达标一、选择题1.在等比数列an中，an0，且a1a21，a3a49，则a4a5的值为()A.16 B.27 C.36 D.81解析由已知a1a21，a3a49，q29.q3(q3舍去)，a4a5(a3a4)q27.答案B2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为()A.4 B.8 C.6 D.32解析设a14，an128，q2，则ana1qn1，即12842n12n1，故n17，得n6.答案C3.在数列an中，对任意nN*，都有an12an0(an0)，则()A.1 B. C.
14、 D.解析由an12an0知an12an，故an是等比数列，且q2，则.答案D4.等比数列an的公比|q|1，an中有连续四项在集合54，24，18，36，81中，则q等于()A. B. C. D.解析an中的项必然有正有负，q1，|an|递增或递减.由此可得an的连续四项为24，36，54，81.q.答案C5.在公差不为0的等差数列an中，a11，且a3，a7，a16成等比数列，则公差为()A. B. C. D.1解析设等差数列an的公差为d(d0)，由a11，a3，a7，a16成等比数列，得aa3a16，即(16d)2(12d)(115d)，整理得6d25d0，解得d或d0(舍去)，即数列
15、an的公差d，故选C.答案C二、填空题6.等比数列an中，a1，q2，则a4与a8的等比中项为_.解析a4a1q3231，a8a1q72716，a4与a8的等比中项为4.答案47.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为_.解析设这6个数所成等比数列的公比为q，则5160q5，q5，q.这4个数依次为80，40，20，10.答案80，40，20，108.在正项等比数列an中，若3a1，a3，2a2成等差数列，则_.解析设正项等比数列an的公比q0，3a1，a3，2a2成等差数列，2a33a12a2，即a1q23a12a1q，q22q30，q0，解得q3.则原式.
16、答案三、解答题9.在等比数列an中.(1)已知an128，a14，q2，求n；(2)已知an625，n4，q5，求a1；(3)已知a12，a38，求公比q和通项公式.解(1)ana1qn1，42n1128，2n132，n15，n6.(2)ana1qn1，a15，故a15.(3)a3a1q2，即82q2，q24，q2.当q2时，ana1qn122n12n，当q2时， ana1qn12(2)n1(1)n12n，数列an的公比为2或2，对应的通项公式分别为an2n或an(1)n12n.10.数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(n1，2，3，).证明：数列是等比数列.证明由a11，an
17、1Sn，得an0，Sn0.由an1Sn，an1Sn1Sn，得(n2)Snn(Sn1Sn)，整理，得nSn12(n1)Sn，所以2，则2.因为1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.能力提升11.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，jN*)，则a53的值为()，A. B. C. D.解析第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51(51).又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53.答案C12.设关于x的二次方程an
18、x2an1x10(n1，2，3，)有两实根和，且满足6263.(1)试用an表示an1；(2)求证：是等比数列；(3)当a1时，求数列an的通项公式.(1)解根据根与系数的关系，得代入题设条件6()23，得3.所以an1an.(2)证明因为an1an，所以an1.若an，则方程anx2an1x10，可化为x2x10，即2x22x30.此时(2)24230，所以an，即an0.所以数列是以为公比的等比数列.(3)解当a1时， a1，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以an，所以an，n1，2，3，即数列an的通项公式为an，n1，2，3，.创新猜想13.(多选题)已知三角形的三边构成等比数列
19、，它们的公比为q，则q可能的一个值是()A. B. C. D.解析由题意可设三角形的三边分别为，a，aq(aq0).因为三角形的两边之和大于第三边，所以当q1时，aaq，即q2q10，解得1q；当0q，即q2q10，解得q1.综上，q的取值范围是，则可能的值是与.答案BC14.(多空题)若等差数列an满足a1a210，a4a32，则an_；若bn是等比数列，且b2a3，b3a7，b6ak，则k_.解析由a4a32知等差数列an的公差d2，又a1a22a1d10，故a14，则an2n2，所以b28，b316，得等比数列bn的公比q2，b14.又b6ak，故2k24261，解得k63.答案2n26313