1、2.2 复数的乘法与除法 1.共轭复数的概念(1)定义:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为 共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数.(2)表示:通常记复数z的共轭复数为_.(3)性质:若z=a+bi(a,bR),则z =a2+b2=|z|2.必备知识自主学习 zz【思考】在复平面内,两个共轭复数的对应点有什么关系?提示:在复平面内,两个共轭复数的对应点关于实轴对称.2.复数的乘法法则与除法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则(1)z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.(2)(cdi0).12zabi_
2、zcdi2222acbdbcad icdcd【思考】复数的除法与实数的除法运算相同吗?提示:复数的除法与实数的除法有所不同,实数的除法可以直接约分化简,得出结论,但复数的除法中分母为复数,一般不能直接约分化简.3.复数乘法运算律 运算律恒等式交换律z1z2=z2z1结合律(z1z2)z3=z1(z2z3)分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两个复数互为共轭复数,则它们的模相等.()(2)若zC,则|z|2=z2.()(3)若z1,z2C,且 =0,则z1=z2=0.()2212zz提示:(1).设z=a+bi(a,bR),则 =a
3、-bi,因为|z|=所以|z|=|.(2).举反例:如z=1+i,则|z|=,z2=2i,|z|2z2.(3).例如z1=1,z2=i,显然 =0,但z1z20.z222222ab|z|a(b)ab，z22212zz2.(1+i)(2-i)=()A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i【解析】选D.(1+i)(2-i)=2-i2-i+2i=3+i.3.已知复数z满足 =2+i(i为虚数单位),则复数z的虚部为()【解析】选A.z=虚部为-.z(1 i)1111A.B.C.i D.i22222i31 i1 i22，124.设a,bR,a+bi=(i为虚数单位),则a+b的值为_.【解析
4、】因为a+bi=5+3i.所以a=5,b=3,a+b=8.答案:8 117i12i117i(117i)(12i)25 15i12i(12i)12i5关键能力合作学习 类型一 复数的乘法运算【典例】1.若z=(1+3i)(1+2i),则()A.z的实部等于虚部 B.z的实部与虚部互为相反数 C.z的实部大于虚部 D.z的实部与虚部之和大于零 2.已知复数z1=(1+i),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,则z2=_.【思路导引】两个复数代数形式乘法的一般方法:首先按多项式的乘法展开;再将i2换成-1;然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的代数形式.13(i)22【解析】1.选B.因为z=-
5、5+5i,所以z的实部与虚部互为相反数.2.z1=设z2=a+2i(aR),z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.因为z1z2是实数,所以4-a=0,即a=4,所以z2=4+2i.答案:4+2i 13(i)(1i)2i.22 【解后反思】1.复数相等的充要条件是什么?提示:复数相等的充要条件是这两个复数的实部和虚部分别相等.2.复数z=a+bi=0(aR,bR)的充要条件是什么?提示:复数z=a+bi=0(aR,bR)的充要条件是a=0,b=0.【解题策略】复数的乘法运算技巧(1)复数的乘法运算与二项式的乘法运算类似,结果利用i2=-1化简即可.(2)按照复数的乘法法则
6、,三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,复数混合运算和实数的运算顺序一致,在计算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.【跟踪训练】计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i).(2)(3+4i)(3-4i).【解析】(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.【补偿训练】复数z=(1+i)(2+i)(3+i),则|z|=_.【解析】因为z=(1+i)(2+i)(3+i)=(1+3i)(3+i)=10i,所以|z|=|10i|=10.答案:10 类
7、型二 共轭复数的性质【典例】1.复数z=|(-i)i|+i5(i为虚数单位),则复数z的共轭复数为()A.2-i B.2+i C.4-i D.4+i 2.(1)已知z1=2+i,z2=3-4i,计算:(2)证明:【思路导引】复数z=a+bi(a,bR)的共轭复数是 =a-bi.31212zzzz.和1212zzzz.z【解析】1.选A.复数z=|(-i)i|+i5=|i-i2|+i=|1+i|+i=2+i,则复数 z=2+i的共轭复数为2-i.2.(1)因为z1=2+i,z2=3-4i,所以z1+z2=5-3i,=5+3i,因为 =2-i,=3+4i,所以 =5+3i.33312zz1z2z1
8、2zz(2)设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2R),=(a1+a2)-(b1+b2)i，=(a1+a2)-(b1+b2)i,即 121122zzab iab i1212(aa)(bb)i1211221122zzab iab iab iab i1212zzzz.【解题策略】共轭复数的关系与性质(1)若已知复数z的代数形式z=a+bi(a,bR),则根据共轭复数的定义可以写出 =a-bi,再进行复数的四则运算.否则,要先化简确定复数z的代数形式,再根 据共轭复数的定义求 .zz(2)共轭复数的重要性质:互为共轭复数的两个复数对应的两个点关于x轴对称;|z|=1时,z
9、=1;|z|=|=z =a2+b2;z+=2a,z-=2bi;=z zR;=-z(z0)z为纯虚数.zz22abz2|z|zzzz【跟踪训练】若把本例2改为:已知z1=2+i,z2=3-4i,(1)如何计算:(2)如何证明:1212z zz z和？1212z zz z？【解析】(1)因为z1=2+i,z2=3-4i,所以 =2-i,=3+4i,所以z1z2=(2+i)(3-4i)=10-5i,=10+5i,=(2-i)(3+4i)=10+5i.(2)设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2R),=(a1a2-b1b2)-(a1b2+a2b1)i,=(a1-b1i)(a2
10、-b2i)=(a1a2-b1b2)-(a1b2+a2b1)i,即 1z2z12z z12z z121122z z(ab i)(ab i)12121221(a ab b)(a ba b)i121122z zab i ab i1212z zz z.【补偿训练】1.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=2-i,则z1 等于 ()A.-3-4i B.-3+4i C.4-3i D.-4+3i【解析】选B.复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=2-i,则z2=-2-i,=-2+i,z1 =(2-i)(-2+i)=-(2-i)2=-3+4i.2z2z2z2.已知复数z满足|
11、z|=1,且(3+4i)z是纯虚数,求 的值.【解析】设z=a+bi(a,bR),由|z|=1得 =1,(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=3a-4b+(4a+3b)i是纯虚数,则3a-4b=0,且4a+3b0得 所以 z22ab2244ab1,a,a,553a4b033bb.4a3b055 或4343zizi.5555，或类型三 复数的除法运算及综合应用 角度1 复数的除法运算【典例】1.(2020全国卷)复数 的虚部是()2.(2018北京高考)在复平面内,复数 的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11 i11 3i3113A.B.C.D
12、.101010103.(2018全国卷)设 则|z|=()A.0 B.C.1 D.【思路导引】1.分子分母同时乘以1+3i.2.判定复数 在复平面内对应的点所在的象限.3.|z|=(aR,bR).1 iz2i1 i，122z22ab【解析】1.选D.因为 所以复数 的虚部 为 .2.选D.复数 所以z的共轭复数 对应的点为 位于第四象限.3.选C.因为 所以|z|=1.11 3i13 i1 3i1 3i1 3i1010，（）（）11 3i310211 i1 i1 i11zi1 i(1 i)(1 i)1 i222，11zi z22，11(,)22，21 i(1 i)2iz2i2i2ii1 i(1
13、 i)(1 i)2，20 1【跟踪训练】1.在复平面内与复数z=所对应的点关于实轴对称的点为A,则A对应的复数 为()A.1+i B.1-i C.-1-i D.-1+i【解析】选B.因为z=i(1-i)=1+i,所以A点坐标为(1,-1),其 对应的复数为1-i.2i1i2i2i(1i)1 i(1 i)(1i)2.复数 =_.【解析】原式=答案:i 213i|12i|()1 i2222(13i)1(2)(1 i)22 3i33i3i.2i 角度2 i的运算性质【典例】计算:(1)(2)i2 021+【思路导引】归纳出in(nN*)的周期变化规律.2 020222i2().(1 i)1 i850
14、822 3i22i22i()().1 i1 2 3i13i（）【解析】(1)原式=i(1+i)+(-i)1 010=i+i2+(-1)1 010i1 010=i-1+i1 010=i-1-1=i-2.(2)原式=i4505+1+2(1+i)24-=i+(4i)4-i25+i+=256+i+=256+i+=256+i-8(1-i)=248+(1+8 )i.1 01021 i2()2i2i（）2 425822 3i1 i()2ii2 3i13i()2（）（）21613i()2 1613i2 3213i 33【解题策略】1.复数的除法运算技巧(1)复数的乘法与除法互为逆运算,注意灵活转化.(2)根据
15、复数的除法法则,通过分子、分母都乘以分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.2.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用,i的周期性要记熟,即in+in+1+in+2+in+3=0(nN*).(2)记住以下结果,可提高运算速度(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;1i1iii1i1i，.【跟踪训练】1.已知i是虚数单位,则复数z=的虚部是()A.0 B.i C.-i D.1【解析】选D.z=故虚部为1.43i34i43i(43i)(34i)34i(34i)(34i)25ii25，2.已知复数z满足(1+i)z=1+i,则|z|=_.【解析】(1+i)z=1+
16、i,所以|z|=答案:331 i(1 i)(13i)13(13)iz413i(13i)(13i)，2212 22(13)(13).44222课堂检测素养达标 1.若复数z满足zi=1-i,其中i为虚数单位,则z的虚部为()A.0 B.-1 C.-i D.i【解析】选B.依题意z=-1-i,故z的虚部为-1.121 i(1 i)(i)ii(i)2.能使得复数z=a-2+ai3 在复平面内对应的点位于第三象限的是()A.2a-1+2i为纯虚数 B.1+2ai模为3 C.3+ai与3+2i互为共轭复数 D.a0(aR)【解析】选A.z=a-2+ai3=a-2-ai,由题意可知,若复数在复平面内对应的
17、点在第 三象限,需满足 解得:0a0不能满足复数z在复平面内对应的点在第三象限,不满足条件.a20a0，122|12ai|14a223.若(x+i)i=-1+2i(xR),则x=_.【解析】由题意,得x+i=2+i,所以x=2.答案:2 2212ii2iii i21 4.已知z为复数,z+2i和 都是实数,其中i为虚数单位.求复数z.【解析】因为 是实数,所以设 =m(mR),则z=2m-mi(mR).z+2i=2m+(2-m)i.因为z+2i为实数,所以2-m=0,即m=2.所以z=4-2i.z2iz2iz2i【新情境新思维】待定系数法在复数中的应用:求3+4i的平方根.【解析】设z=x+yi(x,yR)为3+4i的平方根,则z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi=3+4i.由复数相等可知 所以 或 所以3+4i的平方根为2+i或-2-i.22xy32xy4，x2,y 1x2y1.，
