1、天津市第100中学2019-2020学年高二数学期中考试试卷一、选择题（本大题共8小题）1. 设命题p：nN，n22n，则p为（）A. ,B. ,C. ,D. ,2. 已知向量=（2m+1，3，m-1），=（2，m，-m），且，则实数m的值等于（）A. B. C. 0D. 或3. 等比数列an的前n项和为Sn=a3n-1+b，则=（）A. B. C. 1D. 34. 关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是 .A. B. C. D. 5. 空间四边形ABCD中，若向量=（-3，5，2），=（-7，-1，-4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A. 3,B. C. D.
2、2,6. 已知数列an中，a1=1，an+1=2an+1（nN*），Sn为其前n项和，则S5的值为（）A. 57B. 61C. 62D. 637. 在数列an中，a1=2，则an=（）A. B. C. D. 8. 设ab0，则的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9. 已知=（2，3，1），=（-4，2，x）且，则|=_10. 不等式2的解集是_11. 等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3=，S6=，则a8=_12. 一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为3227，则公差d= _ 13. 命题p
3、：（x-m）23（x-m）是命题q：x2+3x-40成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_14. 已知等差数列an中，a3=7，a9=19，Sn为数列an的前n项和，则的最小值为_三、解答题（本大题共5小题，共64.0分）15. 已知U=R且A=x|a2x2-5ax-60，Bx|x-2|1（1）若a=1，求（UA）B；（2）求不等式a2x2-5ax-60（aR）的解集16. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2，AB=1，E为AD中点，F为CC1中点（）求证：ADD1F；（）求证：CE平面AD1F；（）求AA1与平面AD1F成角的余弦值17. 已知公差不
4、为0的等差数列an的首项a1=2，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设，nN*，Sn是数列bn的前n项和，求使成立的最大的正整数n18. 如图所示，直角梯形ABCD中，ADBC，ADAB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF=，平面EDCF平面ABCD （）求证：DF平面ABE；（）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；（）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由19. 已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S2=2a2-2，S3=a4-2，数列an满足
5、a2=4b1，nbn+1-（n+1）bn=n2+n，（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）证明数列为等差数列；（3）设数列cn的通项公式为：Cn=，其前n项和为Tn，求T2n答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解：特称命题的否定是全称命题，命题p：nN，n22n，则p：nN，n22n，故选C2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题.根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m的值【解答】解：空间平面向
6、量=（2m+1，3，m-1），=（2，m，-m），且，（2m+1，3，m-1）= （2，m，-m）=（2，m，-m），解得m =-2故选：B3.【答案】A【解析】【分析】本题考查等比数列的性质，两数比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用由等比数列an的前n项和求出前3项，由此能利用等比数列an中求出【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn=a3n-1+b，a1=S1=a+b，a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a，a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a，等比数列an中，（2a）2=（a+b）6a，解得=-3故选：A4.【答案】C【解析】【分析】根据不等式ax
7、-b0的解集得出a=b0，再化简不等式（ax+b）（x-3）0，求出它的解集即可本题考查了一元一次不等式与一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目【解答】解：关于x的不等式ax-b0的解集是（1，+），即不等式axb的解集是（1，+），a=b0，不等式（ax+b）（x-3）0可化为（x+1）（x-3）0，解得： -1x3，该不等式的解集是（-1，3）故选：C5.【答案】B【解析】解：点E，F分别为线段BC，AD的中点，O为空间内任一点.=，=-=（3，-5，-2）+（-7，-1，-4）=（-2，-3，-3）故选：B点E，F分别为线段BC，AD的中点，可得=，=代入计算即可得出本题考查了向量的
8、平行四边形法则、向量坐标运算，属于基础题6.【答案】A【解析】【分析】本题考查由数列递推式求数列通项、求等比数列前n项和等知识，考查转化思想，属中档题由an=2an-1+1，得an+1=2（an-1+1）（n2），可判断an+1是以2为公比，2为首项的等比数列，由此可求得an，然后利用分组求和法可得Sn，当n=5时，代入即可求得S5=64-5-2=57，即可得到答案【解答】解：由an+1=2an+1an+1+1=2（an+1），a1=1，所以an+1是以2为公比，2为首项的等比数列，所以an+1=22n-1=2n，an=2n-1，Sn=（2-1）+（22-1）+（23-1）+（2n-1）=（2
9、+22+23+2n）-n，=-n，Sn=2n+1-n-2当n=5时，S5=64-5-2=57，故选A7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查数列通项公式的求解，构造新数列，利用累加相消法是解决本题的关键属于中档题构造新数列，利用累加相消即可求解an【解答】解：由，设，则，可得那么：累加可得：=lnnbn=b1+lnn=2+ln2则an=n（2+ln2）故选：C8.【答案】D【解析】【分析】将变形为，然后前两项和后两项分别用均值不等式，即可求得最小值本题考查凑成几个数的乘积为定值，利用基本不等式求出最值【解答】解：=4当且仅当取等号即取等号的最小值为4故选：D9.【答案】2【解析】解：=（2，
10、3，1），=（-4，2，x）且，=-8+6+x=0，解得x=2，=（-4，2，2），|=2故答案为：2由垂直垂直的性质求出x=2，从而=（-4，2，2），由此能求出|本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10.【答案】，1）（1，3【解析】解：x+52（x-1）2且x12x2-5x-30且x1，1）（1，3故答案为：，1）（1，3注意到分母恒大于或等于0，直接转化为整式不等式求解，注意x1本题考查解分式不等式，在解题过程中，注意等价转化11.【答案】32【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题设等比数
11、列an的公比为q1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q1，S3=，S6=，=，=，解得a1=，q=2则a8=32故答案为3212.【答案】5【解析】解：设偶数项和为32k，则奇数项和为27k，由32k+27k=59k=354 可得k =6，故公差d=5，故答案为：5设偶数项和为32k，则奇数项和为27k，由32k+27k=354 可得k的值，根据公差d=求得结果本题考查等差数列的定义和性质，得到k=6，公差d=，是解题的关键13.【答案】m1或m-7【解析】解：由x2+3x-40得-4x1，由（x-m）23（x-m）得（x-m-3）（x-m）0，即
12、xm+3或xm，若p是q的必要不充分条件，则1m或m+3-4，即m1或m-7，故答案为：m1或m-7根据不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价条件是解决本题的关键14.【答案】3【解析】解：已知等差数列an中，a3=7，a9=19，由a9-a3=6d=12，d=2，所以a1=3，所以an=2n+1，则=，当且仅当n+1=3，即n=2时，取等号，故答案为：3等差数列an中，a3=7，a9=19，d=2，所以a1=3，由基本不等式，=，得出答案考查等差数列的性质和前n项和公式的应用，基本不等式求最值，中档题15.【答案】
13、解：（1）a=1时，A=x|x2-5x-60=x|-1x6，B=x|x-2|1=x|x1或x3；UA=x|x-1或x6，则（UA）B=x|x-1或x6；（2）a=0时，不等式化为-60，解集为R；当a0时，不等式化为（ax+1）（ax-6）0，即（x+）（x-）0；若a0，则-，不等式的解集为（-，）；若a0，则-，不等式的解集为（，-）；综上知，a=0时，不等式的解集为R；a0时，不等式的解集为（-，）；a0时，不等式的解集为（，-）【解析】（1）a=1时化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可；（2）讨论a=0和a0、a0时，分别求出不等式的解集即可本题考查集合的运算问题，也考查了含有
14、字母系数的不等式解法与应用问题，是基础题16.【答案】解：（）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），F（0，1，1），=（-1，0，0），=（0，1，-1），=0，ADD1F（）证明：E（，0，0），C（0，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，2），F（0，1，1），=（，-1，0），=（-1，0，2），=（-1，1，1），设平面AD1F的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（2，1，1），=0，CE平面AD1F，CE平面AD1F（）解：=（0，0，2），平面AD1F的法向量=（2，1，1
15、），设AA1与平面AD1F成角为，则sin=，cos=AA1与平面AD1F成角的余弦值为【解析】（）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明ADD1F（）求出平面AD1F的法向量，利用向量法能证明CE平面AD1F（）求出=（0，0，2），平面AD1F的法向量=（2，1，1），利用向量法能求出AA1与平面AD1F成角的余弦值本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17.【答案】解：（1）公差d不为0的等差数列an的首项a1=2，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数
16、列，可得（a2+1）2=（a1+1）（a4+1），即有（3+d）2=3（3+3d），解得d=3（0舍去），则an=a1+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1；（2）=（-），Sn=（-+-+-）=（-）=，即为，解得n12，可得n的最大正整数为11【解析】（1）由等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，计算可得公差，即可得到所求通项公式；（2）求得=（-），运用数列的裂项相消求和，可得Sn，解不等式可得n的最大值本题考查等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，不等式的解法，属于中档题18.【答案】解：（）证明：四边形EDCF为矩
17、形,DECD，平面EDCF平面ABCD，平面EDCF平面ABCD=CD，DE平面ABCD.由题意，以D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，0，），F（-1，2，），=（-1，-2，），=（0，2，0），设平面ABE的法向量为=（x，y，z），y=0，令z=1，则，所以平面ABE的法向量为=（，0，1），又=（-1，2，），=-+0+=0，；又DF平面ABE，DF平面ABE；（）=（-1，-2，），=（-2，0，），设平面BEF的法向量为=（a，b，c），令c=4，则，则平面BEF的法向量为=（2，4），设平面
18、ABE与平面EFB所成锐二面角为，cos=，平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是；（）设=（-1，2，）=（-，2，），0，1；P（-，2，），=（-1，2-2，），又平面ABE的法向量为=（，0，1），设直线BP与平面ABE所成角为，sin=|cos，|=|=，化简得82-6+1=0，解得=或=；当=时，=（-，-1，），|=2；当=时，=（-，-，），|=2；综上，|=2【解析】本题主要考查利用向量方法解决立体几何的应用问题.确定平面的法向量是解题的关键,属于难题.（）取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量与向量，根据=0证明，
19、从而证明DF平面ABE；（）求平面BEF的法向量，再计算平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；（）设=，0，1，求向量与平面ABE的法向量所成角的余弦值，列出方程解方程得的值，从而求出|的值19.【答案】解：（1）由于等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，S2=2a2-2，S3=a4-2，所以S3-S2=a4-2a2=a3，整理得，由于a20，所以q2-q-2=0，由于q0，解得q=2由于a1+a2=2a2-2，解得a1=2，所以（2）数列an满足a2=4b1，解得b1=1，由于nbn+1-（n+1）bn=n2+n，所以（常数）所以数列数列是以1为首项1为公差的等差数列（3）由于数列数列是以1为首项1为公差的等差数列所以，解得由于数列cn的通项公式为：Cn=，所以令=（4n-1）4n-1所以，4，-得：-（4n-1）4n，整理得，故：【解析】（1）直接利用已知条件和递推关系式的应用求出数列的通项公式（2）利用关系式的恒等变换和数列的递推关系式的应用求出数列为等差数列（3）利用（1）和（2）的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型
