1、12.2组合第一课时组合与组合数公式组合与组合数从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘问题1：所得商和积的个数相同吗？提示：不相同问题2：它们是排列吗？提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列1组合一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2组合数从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示组合定义的理解(1)组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的(2)无序性是组合的特点，取出的m个元素是不讲顺序的，也就是说元素没有位置的要求(3)只要两
2、个组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.组合数公式从1,3,5,7中任取两个数相除问题1：可以得到多少个不同的商？提示：A4312个不同的商问题2：如何用分步法求商的个数？提示：第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA.问题3：由问题1、问题2你能得出计算C的公式吗？提示：能因为ACA，所以C6.问题4：你能把问题3的结论推广到一般吗？提示：可以，从n个不同元素中取出m个元素的排列数可由以下两个步骤得到：第1步，从这n个不同元素中取出m
3、个元素，共有C种不同的取法；第2步，将取出的m个元素全排列，共有A种不同的排法由分步乘法计数原理知，ACA，故C.组合数公式组合数公式乘积形式C阶乘形式C性质C；C备注n，mN*，mn；规定C1，C1组合数公式C的分子是连续m个正整数n，n1，n2，(nm1)的乘积，即从n开始减小的连续m个自然数的积，而分母是1,2,3，m的乘积当含有字母的组合式要进行变形论证时，利用此公式较为方便组合的有关概念判断下列各事件是排列问题还是组合问题(1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出
4、3个不同学科的代表，有多少种选法？(1)是排列问题因为发信人与收信人是有区别的(2)是组合问题因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别 (3)是组合问题因为3个代表之间没有顺序的区别(4)是排列问题因为3个人中，担任哪一学科的代表是有顺序区别的根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合解：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示由此可得所有的组合为ab，
5、ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.与组合数有关的计算(1)计算：CCA；(2)若，求n的取值集合(1)原式CA7652102100.(2)由，可得n211n120，解得1n12.又nN*，且n5，所以n5,6,7,8,9,10,11所以n的取值集合为5,6,7,8,9,10,11在利用组合数公式进行计算、化简时，要灵活运用组合数的性质，一般地，计算C时，若m比较大，可利用性质，不计算C而改为计算C，在计算组合数之和时，常利用性质.1计算：CCC.解：原式CC1564 9505 006.2求等式中的n的值解：原方程可变形为1，CC，即，化简整理，得n23n540.解此二次方程
6、，得n9或n6(不合题意，舍去)，所以n9为所求简单的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加(1)从中任取5人是组合问题，共有C792种不同的选法(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C36种不同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C126种不同的选法(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C3种选法；再
7、从另外9人中选4人，有C种选法共有CC378种不同的选法解答简单的组合问题的方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为C45.(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C种选法；第2类，选出的2名是女教师有C种选法根据分
8、类加法计数原理，共有CC15621种不同的选法(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有CC90种不同的选法已知：，求m的值依题意，m的取值范围是m|0m5，mN*因为，化简得m223m420，解得m21或m2.因为0m5，mN*，所以m21舍去，所以m2.1运用组合数公式转化为关于m的一元二次方程后，易忽略0m5的取值范围，导致错误解这类题目时，要将C中m，n的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求解2应用组合数性质CC可以得到mp或mpn两种可能切忌只考虑到了两者相等的情况，而忽略了mpn的情况，从而导致错误已知CC，则x的值是()A2
9、B6C.D2或6解析：选D根据组合数性质CC可得若CC，则根据题意得解得x2或x6.1方程CC的解为()A4或9B4C9 D其他解析：选A当x3x8时，解得x4；当28x3x8时，解得x9.2某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A14 B24C28 D48解析：选A从6人中任选4人的选法种数为C15，其中没有女生的选法有1种，故至少有1名女生的选法种数为15114.3计算：CC_.解析：CCCC1 275.答案：1 275410个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为_(用数字作答)解析：先给甲组选4人，
10、有C种选法，余下的6人为乙组，故共有不同的分组种数为C210.答案：21057名男生、5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选解：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有不同的选法种数为C120.(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有不同的选法种数为C252.(3)全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选的选法种数为CC672.一、选择题1某乡镇共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该乡镇内建“村村通”工程，共需建公路的条数为()A
11、4B8C28 D64解析：选C由于“村村通”公路的修建是组合问题，故共需要建C28条公路2已知CCC，则n等于()A14 B12C13 D15解析：选ACC，78n1，n14.3将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有()A252种 B112种C20种 D56种解析：选B每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有CCCC112种分配方案4某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成
12、方法种数是()ACC BCCCC DAA解析：选B按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC种抽法5异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A20 B9CC DCCCC解析：选B分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C个平面故可确定CC9个不同的平面二、填空题6从0,1，2这六个数字中，任取两个数字作为直线yxtan b的倾斜角和截距，可组成_条平行于x轴的直线解析：要使得直线与x轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可，故有C5条满足条件答
13、案：57不等式Cn5的解集为_解析：由Cn5，得n5，n23n100.解得2n5.由题设条件知n2，且nN*，n2,3,4.故原不等式的解集为2,3,4答案：2,3,48设集合Aa1，a2，a3，a4，a5，则集合A中含有3个元素的子集共有_个解析：从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C10个子集答案：10三、解答题9计算：(1)CCC；(2)CCCCCC；(3)CC.解：(1)原式CC1351 2251 260.(2)原式2(CCC)2(CC)232.(3)法一：原式CCnn(n1)nn2n.法二：原式(CC)C(1C)C(1n)nn2n.10要从6男4女中选出5人参加一
14、项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选解：(1)甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有C70种选法(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第1类是3男2女，有CC种选法；第2类是2男3女，有CC种选法；第3类是1男4女，有CC种选法由分类加法计数原理知，共有CCCCCC186种选法11判断下列问题是组合问题还是排列问题，然后再算出问题的结果(1)集合0,1,2,3,4的含三个元素的子集的个数是多少？(2)用没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段？如果连成有向线段，共有多少条？(3)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各
15、一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？解：(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从集合0,1,2,3,4中取出3个数的组合这是一个组合问题，组合的个数是C10，所以子集的个数是10.(2)由5个点中取两个点恰好连成一条线段，不用考虑这两个点的次序，所以是组合问题，组合数是C10，连成的线段共有10条再考虑有向线段问题，这时两个点的先后排列次序不同对应两个不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A5420，所以有向线段共有20条(3)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题排列数是A9872，所以选正、副班长共有72种选法选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题组合数是C36，所以不同的选法有36种