1、等比数列的前n项和公式(第2课时)素养目标学科素养1.掌握等比数列前n项和的性质(重点)2能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题.1.逻辑推理；2数学运算情境导学远望巍巍塔七层，红光点点倍加增其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？这首古诗给大家呈现一幅美丽夜景的同时，也留给了大家一个数学问题，你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？1等比数列前n项和的性质(1)若数列an为非常数列的等比数列，且其前n项和SnAqnB(A0，B0，q0，q1)，则必有AB0；反之，若某一非常数列的前n项和SnAqnA(A0，q0，q1)，则该数列必为等比数列(2)如果公比q1或虽q1但n为奇数时，Sn
2、，S2nSn，S3nS2n构成等比数列(3)当等比数列an的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比q.2分组求和某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若等比数列an的前n项和Sn2nm，则m2.()(2)若数列an是公比q1的等比数列，则其前n项和公式可表示为AqnA(A0，q0且q1，nN*)()2若an2nn，则an的前n项和为2n12.3数列1，3，5，(2n1)，的前n项和为n21.1在等比数列an中，若a1a220，a3a440，则S6等于()A140 B1
3、20 C210 D520A解析：S220，S4S240，且(S4S2)2S2(S6S4)，S6S480.又S460，S6140.2若数列an是等比数列，且其前n项和Sn3n13k，则实数k等于_1解析：Sn3n13k33n3k，33k，即k1.3若等比数列an的前n项和Sn2n2，则r_.解析：因为Sn2n22n，即r.4数列2n1的前n项和为_2n12n解析：Sn(211)(221)(231)(2n1)(2122232n)n2n12n. 【例1】(1)若等比数列an的前n项和为Sn，S27，S691，则S4为()A28 B32C21 D28或21(2)在等比数列an中，公比q3，S8032，
4、则a2a4a6a80_.(3)等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.(1)A(2)24(3)2解析：(1)an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列，即7，S47,91S4成等比数列，由(S47)27(91S4)，得S428或S421.又S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)S2，S428.(2)设Aa2a4a6a80，Ba1a3a5a79，则q3，即A3B又ABS8032，A32，解得A24.即a2a4a6a8024.(3)根据题意得q2.等比数列前n项和的常用性质：(1)若共有2n项，则S偶S奇q
5、.(2)“片断和”性质：等比数列an中，公比为q，前m项和为Sm(Sm0)，则Sm，S2mSm，S3mS2m，SkmS(k1)m，构成公比为qm的等比数列在等比数列an中，若前10项的和S1010，前20项的和S2030，则前30项的和S30_.70解析：(方法一)设数列an的首项为a1，公比为q(q1)，则两式相除得1q103，q102.10.S3010(18)70.(方法二)S10，S20S10，S30S20仍成等比数列，又S1010，S2030，S3030，即S3070. 【例2】已知数列an：a1，a2，a3，an，构成一个新数列：a1，a2a1，anan1，此数列是首项为1，公比为的
6、等比数列求：(1)数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和Sn.解：(1)ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)12n1.(2)Sna1a2a3annn1.如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成的，并且各独立项也可组成等差数列或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解若一数列为“1,12,1222，12222n1，”，如何求其前n项和？解：设该数列的第n项为an，则an12222n12n1，所以该数列的前n项和Sn(211)(221)(231)(2n1)(2222n)nn2n1n2.探究题1在各项均为正数的等比数列an中，a12，且a2，a42，a5成等差数列，S
7、n是数列an的前n项和，则S10S4_.解析：设数列an的公比为q(q0)a2，a42，a5成等差数列，2a44a2a5.22q342q2q4.q42q3q20.(q2)(q31)0.q2或q1(舍)S10S42 016.探究题2在等差数列an中，a2a723，a3a829.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为1，公比为|a2|的等比数列，求bn的前n项和Sn.解：(1)设等差数列an的公差为d，依题意得a3a8(a2a7)2d6，从而d3.所以a2a72a17d23，解得a11.所以数列an的通项公式为an3n2.(2)由(1)得a24，所以|a2|4.而数列anbn是首
8、项为1，公比为4的等比数列，所以anbn4n1，即3n2bn4n1，所以bn3n24n1，于是Sn147(3n2)(14424n1).探究题3等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.解：(1)依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)，由于a10，故2q2q0.又q0，从而q.(2)由(1)可得a1a123，故a14.从而Sn.探究题4已知正项等比数列an(nN*)，首项a13，前n项和为Sn，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和Tn.解：(1)设等比数列a
9、n的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以有2(S5a5)(S3a3)(S4a4)，即2(a1a2a3a42a5)(a1a22a3)(a1a2a32a4)，化简得4a5a3，从而4q21，解得q.因为an0，所以q，所以an3n1.(2)由(1)知，nan3nn1.Tn31323323nn1，Tn313223(n1)n13nn，两式相减得 Tn313323n13nn33nn6.所以Tn12.解决等差数列和等比数列的综合问题，一般不能直接套用公式，要先对已知条件转化变形，使之符合等差数列或等比数列的形式，然后利用公式求解同时，要注意在题设条件下，寻求等差数列之间的内在联系已知
10、数列an是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a11，a31，a71成等比数列(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.解：(1)由题意，得a31a15，a71a113，所以由(a31)2(a11)(a71)，得(a15)2(a11)(a113)，解得a13，所以an32(n1)，即an2n1.(2)由(1)知an2n1，则Snn(n2)，所以，所以Tn.1已知an为等差数列，bn为等比数列，其公比q1且bi0(i1,2，n)，若a1b1，a11b11，则()Aa6b6 Ba6b6Ca6b6 Da6b6A解析：由题意可得四个正数满足a1b1，a11b11，由等差数列和等比数列的
11、性质可得a1a112a6，b1b11b.由基本不等式可得2a6a1a11b1b1122b6，当且仅当b1b11时等号成立又公比q1，故b1b11，上式取不到等号，2a62b6，即a6b6.故选A2已知等比数列an的公比q1，且a1a48，a2a36，则数列an的前n项和为()A2n B2n1C2n1 D2n11C解析：等比数列an中，有a1a4a2a38，而a2a36，可得a22，a34或a24，a32.根据公比q1可知an是递增数列，所以a22，a34，可得q2，a11，所以an的前n项和Sn2n1.故选C3已知等比数列an的前n项和为Sn，若a2S4a4S2，则()A1 B1C2 019
12、D2 019A解析：由题得a1q(a1a1qa1q2a1q3)a1q3(a1a1q)，即q(1qq2q3)q3(1q)，所以1qq2q3q2(1q)，所以q1.所以1.故选A4已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明：是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn.(1)证明：由an13an1得an13，所以3，所以是首项为a1，公比为3的等比数列，所以an3n1.(2)解：由(1)知an的通项公式为an(nN*)，则Sn，所以Sn.1分类讨论的思想：(1)利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论(2)研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10,0q1时为递
13、增数列；当a11或a10,0q1时为递减数列；当q0且q1)常和指数函数相联系等比数列前n项和Sn(qn1)(q1)设A，则SnA(qn1)也与指数函数相联系3整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解 课时分层作业(十)等比数列的前n项和公式(第2课时)(50分钟100分)知识点1等比数列前n项和的性质1(5分)设首项为1，公比为的等比数列an的前n项和为Sn，则()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32anD解析：在等比数列an中，Sn32an.2(5分)在等比数列an中，若a1a2a3a4，a2a3，则等于()A B C DD解析：设等比数列an的公比为q
14、，则a1a2a3a4a1(1qq2q3)，a2a3aq3，.3.(5分)等比数列an共有2n项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q_.2解析：设an的公比为q，由已知可得q1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n，S奇.由题意得，1q3，q2.4.(5分)在等比数列an中，已知a1a2a31，a4a5a62，则该数列的前15项的和S15_.11解析：S31，S6S32，S9S64，S12S98，S15S1216，S15S3S6S3S9S6S12S9S15S1212481611.知识点2分组求和5(5分)数列，的前n项和为()An Bn1Cn1 DnB解析：数列的通项
15、an1，前n项和Snnn1.6(5分)设an为等比数列，bn为等差数列，且b10，cnanbn，若数列cn是1,1,2，则数列cn的前10项和为()A978 B557 C467 D979A解析：设等比数列an的公比为q，等差数列bn的公差为anbn，解得cn2n1(1n)cn的前10项和为978.知识点3等差数列与等比数列的综合问题7(5分)已知数列an是以2为首项，1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1ab2ab10()A1 033 B1 034C2 057 D2 058A解析：ann1，bn2n1，ab1ab2ab10a1a2a4a29(11)(21)(221)
16、(291)10(122229)101 033.8(5分)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1()A2 B2 C DD解析：S1，S2，S4成等比数列，SS1S4，(2a11)2a1(4a16)，a1.9(5分)(多选)已知an为等比数列，Sn是其前n项和若a2a38a1，且a4与2a5的等差中项为20，则()Aa11 B公比q2Ca48 DS531CD解析：a2a38a1，a1q38，即a48.a42a540，a4(12q)40，q2，a11.S531.10.(5分)等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3 B5
17、C31 D33D解析：设an的公比为q，S32，S618，1q39，q2，1q533.11(5分)设等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为A，B，C，则()AABC BB2ACCABCB2 DA2B2A(BC)D解析：Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即(BA)2A(CB)，A2B2A(BC)12(5分)已知等比数列an的前n项和Sn2n1，则数列log2an的前12项和等于()A66 B55 C45 D6A解析：Sn2n1，Sn12n11(n2)，两式相减得an2n1(n2)又a1S11，an2n1.log2ann1.log2an是等差
18、数列，首项为0，公差为1.前12项和为66.13(5分)已知an是等比数列，若a11，a68a3，数列的前n项和为Tn，则T5()A B31 C DA解析：a11，a68a3，q2.是等比数列，首项为1，公比为，T5.14.(5分)在等比数列an中，公比q2，前n项和为Sn，若S51，则S10_.33解析：S51，a1.S101 02333.15.(5分)若等比数列an的前n项和Sn23nr，则r_.2解析：Sn23nr，当n2时，anSnSn123n23n143n1.当n1时，a1S16r.an为等比数列，6r4.r2.16.(12分)已知等差数列an(nN*)的前n项和为Sn，且a35，S
19、39.(1)求数列an的通项公式；(2)等比数列bn(nN*)，若b2a2，b3a5，求数列anbn的前n项和Tn.解：(1)由S39，得3a29，所以a23.又因为a35，所以公差d2.从而ana2(n2)d2n1.(2)由(1)可得b2a23，b3a59，所以公比q3.从而bnb2qn23n1，则anbn(2n1)3n1，分组求和可得Tnn2(3n1).17.(13分)已知数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12S6成等比数列证明：a1，a7，a4成等差数列，2a7a1a4，2q61q3，q3或q31.若q31，则2S36a1，S66a
20、1，S12S66a1.2S3，S6，S12S6成等比数列若q3，则2S3，S6，S12S6.2，即S2S3(S12S6)，2S3，S6，S12S6成等比数列重难强化训练(二) 等比数列 (60分钟120分)练易错易错点1| 对等比数列的定义理解不透彻致误防范要诀等比数列中任一项an0，且q0.对点集训1.(5分)已知等比数列an的前三项为a,2a2,3a3，则a_.4解析：由(2a2)2a(3a3)a1或a4.但当a1时，第二、三项均为零，故a1舍去，得a4.2.(10分)已知数列an中an0，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1
21、，a3，a5成等比数列证明：由已知，有2a2a1a3，aa2a4，.由得，a4.由得a2.由代入，得a.a3，即a3(a3a5)a5(a1a3)化简，得aa1a5.又a1，a3，a50，a1，a3，a5成等比数列易错点2| 利用等比中项时忽略判断符号致误 防范要诀(1)等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号都相同；(2)只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数对点集训3.(5分)如果1，a，b，c,16成等比数列，那么b_，ac_.416解析：b211616，且b1q20，b4.又b2ac，ac16.4.(5分)等比数列an中，a29，a5243，则a6_.729解析：q
22、327，q3，a6a2q4981729.5.(5分)已知2，a1，a2，8成等差数列，2，b1，b2，b3，8成等比数列，则_.解析：2，a1，a2，8成等差数列，得又2，b1，b2，b3，8成等比数列，b2(8)16，b24或b24.由等比数列隔项同号可得b24，.易错点3| 忽视对公比q的讨论防范要诀等比数列的公比q0，数列中各项都不为零；当公比q1时，Sn；当公比q1时，Snna1.对点集训6.(5分)等比数列1，a，a2，a3，(a0)的前n项和Sn_.解析：当a1时，Snn；当a1时，Sn.Sn7.(10分)在首项为a1且公比为q的等比数列an中，其前n项和为Sn，若S34，S636
23、，求an.解：S62S3，q1.由得由得9，即1q39，q2.将q2代入式得a1.ana1qn12n1.练疑难8(5分)设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q等于()A1 B0 C1或0 D1A解析：Sn是等差数列，2S2S1S3，2(a1a2)a1(a1a2a3)，a2a3，q1.9(5分)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1 C DC解析：an为等比数列，a3a5a，a4(a41)，解得a42.设等比数列an的公比为q，则a1q32，q38，q2，a2a1q2.10(5分)已知数列an是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成
24、等差数列，则公比q的值为()A B2C1或 D1或D解析：a1，a3，a2成等差数列，2a3a1a2，2q2q10.q1或.11(5分)在数列an中，已知Sn159131721(1)n1(4n3)，则S15S22S31的值为()A13 B76 C46 D76B解析：S15(4)7(1)14(4153)29，S22(4)1144，S31(4)15(1)30(4313)61，S15S22S3129446176.12(5分)已知等比数列an的各项均为正数，数列bn满足bnln an，b318，b612，则数列bn前n项和的最大值等于()A126 B130 C132 D134C解析：an是正项等比数列
25、，bn是等差数列又b318，b612，d2，b122，Sn22n(2)n223n2，当n11或12时，Sn最大，(Sn)max1122311132.13(5分)已知数列an满足a11，a23，an23an(nN*)，则数列an的前2 019项的和S2 019等于()A31 0102 B31 0103C32 0092 D32 0093A解析：因为a11，a23，3，所以S2 019(a1a3a2 019)(a2a4a2 018)31 0102.14(5分)数列an的通项公式是anncos，其前n项和为Sn，则S2 020等于()A1 010 B2 020C504 D0A解析：a1cos0，a22
26、cos2，a30，a44，.数列an的所有奇数项为0，前2 020项的所有偶数项(共1 010项)依次为2,4，6,8，.故S2 0200(24)(68)(2 0182 020)1 010.15.(5分)在等比数列an中，a34，S312，数列an的通项公式an_.4或n5解析：当q1时，a34，a1a2a34，S3a1a2a312，q1符合题意an4.当q1时，解得q，ana3qn3n5，故an4或ann5.16.(10分)设数列an的前n项和为Sn，点(nN*)均在直线yx上若bn3an，求数列bn的前n项和Tn.解：依题意得n，即Snn2n.当n2时，anSnSn12n；当n1时，a1S
27、1，符合an2n，所以an2n(nN*)，则bn3an32n，由329，可知bn为等比数列，b13219，故Tn.17.(12分)已知等比数列an的各项均为正数，且a26，a3a472.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnann(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设等比数列an的公比为q，a26，a3a472，6q6q272，即q2q120，q3或q4.又an0，q0，q3，a12.ana1qn123n1(nN*)(2)bn23n1n，Sn2(13323n1)(123n)23n1.18.(13分)数列an的前n项和为Sn，已知a12，an12Sn1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和Tn.解：(1)an12Sn1，an2Sn11(n2，nN*)，两式相减得an13an(n2，nN*)a22S115，ana23n253n2(n2，nN*)，当n1，a12不满足上式，an(2)由(1)知nanTn252305331543255335(n1)3n35n3n2，3Tn65231533254335(n1)3n25n3n1，得2Tn65(332333n2)5n3n1655n3n1，Tn3n1.
