1、高三数学第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集U1,2,3,4,5, 集合M3,4,5，N1,2,5，则集合1,2可以表示()A. MNB. (UM)NC. M(UN)D. (UM)(UN)【答案】B【解析】因为UM1,2，所以(UM)N1,2.故集合1,2可以表示为(UM)N.故选B2.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用二次函数的基本性质可判断A选项；利用反比例函数的基本性质可判断B选项；利用指数函数的基本性质可判断C选项；利用对数函数的基本性质可判断D选项.【详解】对于A选项，函数
2、为偶函数，且在区间上单调递减；对于B选项，函数为奇函数，且在区间上单调递减；对于C选项，函数为非奇非偶函数，且在区间上单调递减；对于D选项，函数为非奇非偶函数，且在区间上单调递增.故选：B.【点睛】本题考查基本初等函数奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题.3.方程的解所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，由函数单调递增及即可得解.【详解】令，易知此函数为增函数，由.所以在上有唯一零点，即方程的解所在的区间为.故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.4.（2017新课标全国理科）已知圆柱的高为1，
3、它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.5.已知函数的两条相邻的对称轴的间距为，现将的图象向左平移个单位后得到一个偶函数，则的一个可能取值为
4、（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的最小正周期，可求出的值，然后求出变换后所得函数的解析式，根据函数的奇偶性可得出关于的等式，由此可得出结果.【详解】由于函数的两条相邻的对称轴的间距为，该函数的最小正周期为，则，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数，由于函数为偶函数，则，可得，当时，.故选：B.【点睛】本题考查利用图象变换求函数解析式，同时也考查了利用函数的奇偶性求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6.在中，“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：在中，由得：，因为“”
5、“”，“”“”，所以“”是“”的充要条件，故选C考点：1、三角函数的性质；2、充分条件与必要条件7.已知一个口袋中装有个红球和个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖次数为，则的期望为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算出每次摸球中中奖的概率，可知，然后利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】由题意可知，每次摸球中中奖的概率，则，因此，的期望为.故选：A.【点睛】本题考查二项分布期望值的计算，确定随机变量满足二项分布是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.8.已知双曲线与抛物线的一个交点为为
6、抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由抛物线定义得，因此双曲线的渐近线方程为，选C.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到9.如图所示，在菱形中，为的中点，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】用、表示向量，然后利用平面向量数量积的运算性质可计算出的值.【详解】为的中点，且为菱形，则，.故选：A.【点睛】本题考查
7、平面向量数量积的计算，考查了平面向量数量积运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分10.是虚数单位，则_【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算即得答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.11.函数单调减区间是_【答案】（或、中的一个均可）【解析】分析】解不等式可得函数的单调递减区间.【详解】函数的定义域为，且，令，得，解得.所以，函数单调减区间是或、.故答案为：（或、中的一个均可）.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时需要注意函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.12.过原点且倾斜角为60
8、的直线被圆所截得的弦长为_.【答案】2【解析】直线方程为，圆方程为，圆心到直线的距离，弦长点睛：处理圆弦长问题方法有二：其一，联立方程，结合根与系数关系由弦长公式求弦长，其二，通常利用垂径定理由勾股定理来求弦长.13.展开式的常数项为 （用数字作答）【答案】-160【解析】【详解】由，令得，所以展开式的常数项为.考点：二项式定理.14.若，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可求得的取值范围.【详解】由基本不等式可得，解得.所以，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的取值范围，同时也考查了指数的运算，考查计算能力，属于基础题.15.设与是定义在同一
9、区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.【详解】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，令，可得，列表如下：极大值，如下图所示：由上图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查函数的新定义，本质上考查利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题：本大题共5个小题，共75分解答写出文
10、字说明、证明过程或演算步骤16.设的内角、所对边的长分别是、，且，（）求的值；（）求的值【答案】（）；（）【解析】【分析】（）利用二倍角正弦公式、正弦定理边角互化思想可求得的值；（）由同角三角函数的基本关系求得的值，再结合二倍角公式和两角差的正弦公式可求得的值.【详解】（）因为，所以，则，且，所以；（），则，因为，故.【点睛】本题考查三角求值，考查了正弦定理、二倍角与差角正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，、分别为、的中点（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求二面角的余弦值【答案】（）详见解析；（）；（）【解析】【分析】（）由中位线的
11、性质得出，再由线面平行的判定定理可证得平面；（）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用空间向量法可求出直线与平面所成角的正弦值；（）求出平面的一个法向量，利用空间向量法可求得二面角的余弦值【详解】（）因为，所以，且平面，平面，则平面；（）因为，且，所以平面，则以点为原点建立空间直角坐标系（如图），设，可得，、向量，.设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，于是有，因此，直线与平面所成角的正弦值为；（）因为为平面的法向量，所以，由图形可知，二面角的平面角为锐角，它的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也
12、考查了利用空间向量法求解线面角和二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18.已知椭圆的离心率，且右焦点到直线的距离为（）求椭圆的方程；（）四边形的顶点在椭圆上，且对角线、过原点，若，证明：四边形的面积为定值【答案】（）；（）详见解析【解析】【分析】（）先根据题意求得的值，再由离心率可求得的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的方程；（）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可得出，再利用三角形的面积公式化简计算得出四边形的面积为定值.【详解】（）因为右焦点到直线的距离为，解得，因此，椭圆的方程为；（）设直线的方程为，设点、，联立，得，则，因为，得，即，所以，
13、即，解得，原点到直线的距离为，因为，且，所以（定值）.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中四边形面积的计算，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.19.已知数列是等差数列，其前项和为，数列是公比大于0的等比数列，且，.（）求数列和的通项公式；（）令，求数列的前项和为.【答案】（），；（）【解析】【详解】（）根据题意设数列的公差为，的公比为，且，由，解得，则数列和的通项公式可求；（）由（）知，则 当为偶数时，奇数项和偶数项各有项，.令，利用错位相减法可得故为偶数时，当为奇数时，为偶数，试题解析：（）设数列的公差为，的公比为，且，由题易知，由，得，解得（舍去），此
14、时，.（）由（）知，当为偶数时，奇数项和偶数项各有项，.令，以上两式相减得，.故为偶数时，当为奇数时，为偶数，经验证，也适合上式，综上得点睛：本题考查等差数列、等比数列的通项的求法，以及数列求和错位相减法，分类讨论思想等.属中档题.解题时注意分类标准，做到不重不漏.20.已知函数()若函数上是单调函数，求实数的取值范围；()当t1时，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】解：（）函数， 1分， 3分因为函数在区间（0，1）上为单调函数所以只需在区间（0，1）上恒成立，即在区间（0，1）上恒成立，5分解得故实数的取值范围是7分（）不等式可化为即10分记，要使上式成立只须是增函数即可 12分即在上恒成立，即在上恒成立，故，实数的取值范围是 14分