1、本章复习提升易混易错练易错点1对数函数中忽略真数大于0而致错1.(2021江苏宿迁淮北中学高一月考,)函数f(x)=log12(-x2+2x+3)的单调递增区间是()A.(1,3)B.(1,+)C.(-1,1)D.(-,1)2.(2021江苏盐城安丰中学高一期中,)已知log0.72mlog0.7(m-1),则实数m的取值范围是.易错易错点2忽略对底数的讨论而致错3.(2021山东烟台一中高一月考,)若loga30,a1)的定义域、值域.5.(2020浙江台州启超中学高一期中,)已知函数f(x)=ax+1ax-1(a0,且a1).(1)求函数的定义域和值域;(2)讨论函数的单调区间.易错易错点
2、3换元时忽略中间变量的取值范围而致错6.()已知函数f(x)=2+log3x,x1,9,求函数y=f(x)2+f(x2)的值域.7.()求函数y=(log12x)2-12log12x+5在区间2,4上的最大值和最小值.易错易错点4利用函数解决实际问题时忽略函数的定义域而致错8.(2020河北石家庄二中高一上期中,)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市的收益P与投入a(单位:万元)满足P=32a-6,乙城市的收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=14a+
3、2.设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(x)的解析式及定义域;(2)如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?易错思想方法练一、数形结合思想在函数中的应用1.(多选)(2021江苏盐城滨海中学高一月考,)已知2 020a=2 021b,则下列不可能成立的是()A.0baB.ab0C.0abD.ba02.(2020浙江义乌高一期末,)已知函数f(x)=5x-1,0xn0,若f(n)=f(m),则nf(m)的取值范围是.3.()已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在0,+)上为增函数, f13=0,则不等式f(log18x)0的解集为.二、
4、分类讨论思想在函数中的应用4.(2021云南玉溪高一期末,)已知函数y=14ax2-2x+4的值域为0,116,若不等式loga(t4x)0且a1.(1)求函数的定义域;(2)若a1时,f(x)在-52,-32上恒为正,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)在-12,13上单调递增,求实数a的取值范围.三、转化与化归思想在函数中的应用8.()若10|lg x|-a=0有两个实数根,则实数a的取值范围是()A.a1C.a1D.a19.()已知函数f(x)=|log2x|,08,若a,b,c,d互不相同,且abc0,且c1)是“减半函数”,则t的取值范围为()A.(0,1)B.(0,1 C.-,
5、18D.0,18答案全解全析本章复习提升易混易错练1.A函数f(x)是由y=log12t和t=-x2+2x+3复合而成的.易知函数y=log12t在定义域内单调递减,所以要求f(x)的单调递增区间,需要求t=-x2+2x+3的单调减区间.令-x2+2x+30,解得-1x3.函数t=-x2+2x+3图象的对称轴为x=1,所以函数t=-x2+2x+3在x(-1,3)上的单调递减区间是(1,3).所以函数f(x)=log12(-x2+2x+3)的单调递增区间是(1,3).故选A.2.答案(1,+)解析log0.72m0,m-10,2mm-1,解得m1.易错警示在解决真数中含有参数的对数问题时,一定要
6、保证真数大于0.忽略了这一点会使得所求参数范围扩大从而导致错误.3.B当a1时,由loga33;当0a1时,由loga31=logaa,得a3,0a1,0a1时,xloga4;当0a1时,f(x)的定义域为(-,loga4;当0a1时,f(x)的定义域为loga4,+).令t=4-ax,则0t2,ax=4-t2,y=4-t2-2t-1=-(t+1)2+4.令g(t)=-(t+1)2+4,当0t2时,g(t)是减函数,g(2)g(t)g(0),即-5g(t)3.函数f(x)的值域是(-5,3.5.解析(1)由题意得ax-10,解得x0,函数的定义域为x|x0.f(x)=ax+1ax-1=1+2a
7、x-1.当0ax1时,-1ax-10,2ax-1-2,f(x)=1+2ax-11时,ax-10,2ax-10,f(x)=1+2ax-11.函数的值域为(-,-1)(1,+).(2)设x1,x2为区间(-,0)上的任意两个值,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1+2ax1-11+2ax2-1=2(ax2-ax1)(ax1-1)(ax2-1).x1x20,当0a1时,ax20,ax2-10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)1时,ax2ax1,ax1-10,ax2-10,即f(x1)f(x2),函数f(x)为减函数.同理,当x0时,若0a1,函数f(x)为减函数.综上,当a1时,f(x)在
8、(-,0)和(0,+)上递减;当0a1时,f(x)在(-,0)和(0,+)上递增.易错警示在解决底数中含有字母的指数函数或对数函数问题时,要注意对底数a分0a1两种情况讨论.6.解析因为函数f(x)的定义域是1,9,所以1x9,1x29,解得1x3.故函数y=f(x)2+f(x2)的定义域为1,3.由题意知y=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6,令t=log3x,则t0,1,y=t2+6t+6=(t+3)2-3,由二次函数的图象(图略)可知此函数在0,1上单调递增,故所求函数的值域是6,13.7.解析因为2x4,所以log122log12xlog124,
9、即-1log12x-2.设t=log12x,则-2t-1,y=t2-12t+5,其图象的对称轴为直线t=14,所以当t=-2,即x=4时,ymax=10;当t=-1,即x=2时,ymin=132.易错警示求复合函数的定义域、值域、单调区间时,为了叙述简便,常需要利用换元法,此时务必需要注意新元的范围,否则极易出现错解.8.解析(1)由题意知,甲城市投资x万元,则乙城市投资(120-x)万元,所以f(x)=32x6+14(120-x)+2=-14x+32x+26.依题意得x40,120-x40,解得40x80.故f(x)=-14x+32x+26(40x80).(2)令t=x,则t210,45,所
10、以y=-14t2+32t+26=14(t-62)2+44(210t45).所以当t=62,即x=72时,y取得最大值,为44万元.所以当甲城市投资72万元,乙城市投资120-72=48万元时,总收益最大,且最大总收益为44万元.易错警示利用函数知识解决应用性问题时,不仅要考虑函数本身的定义域,还要结合实际问题写出自变量的限制条件.思想方法练1.CD令m=2 020a=2 021b0,则a=log2 020m,b=log2 021m.作出函数y=log2 020x,y=log2 021x的图象,数形结合判断a,b之间的大小关系.作出y=log2 020x与y=log2 021x的图象如图所示.由
11、图可知,若0m1,则ab1,则0ba.故选CD.2.答案125,4解析作出函数f(x)的图象,数形结合求出n的取值范围,再将nf(m)转化为关于n的式子,从而得出nf(m)的取值范围.作出函数f(x)的图象如图所示.由图可知,f(n)=f(m)同时成立时n的取值范围为45n1.又nf(m)=nf(n)=n(5n-1)=5n2-n=5n2-n5=5n-1102120,所以125nf(m)0log18x13x2或0x0的解集为0,12(2,+).思想方法利用数形结合思想解决函数问题时应注意以下几点:能准确画出函数图象,注意函数的定义域;科学设置参数,并建立参数之间的关系,将数与形进行合理转换;掌握
12、数学曲线中的代数特征,正确掌握参数的取值范围.4.A由函数y=14ax2-2x+4的值域为0,116,得函数的最大值为116.对指数中的二次项系数分a=0,a0,a0时,函数y=14ax2-2x+4在x-,1a上单调递增,在x1a,+上单调递减,所以当x=1a时,函数有最大值,即141a-2a+4=116,解得a=12;当a0时,函数y=14ax2-2x+4在x-,1a上单调递减,在x1a,+上单调递增,此时函数无最大值.综上,a=12.所以log12(t4x)0,2x-t0,t4x2x-t在x1,2上恒成立.由t4x0在x1,2上恒成立,可得t0.由2x-t0在x1,2上恒成立,即t2x在1
13、,2上恒成立,可得t2x-t在x1,2上恒成立,即t2x4x+1=12x+12x在1,2上恒成立,令f(x)=2x+12x,易知函数f(x)在1,2上单调递增,所以f(x)min=f(1)=52,所以t25.由得25t1和0a1时,y=logat在定义域上单调递增,则t=x2-ax+12在(2,3)上单调递减,所以a23,32-3a+120,解得6a7.当0a1时,y=logat在定义域上单调递减,则t=x2-ax+12在(2,3)上单调递增,所以a22,22-2a+120,解得a4,又0a1,所以0a1.综上,0a1或6a7.6.解析(1)f(x)的值域为R,y=ax2+2x+1的值域包含(
14、0,+).对二次项系数分a0讨论求解.当a0时,需满足=4-4a0,解得a1,故00对任意的xR恒成立,a0,=4-4a1.故实数a的取值范围是(1,+).7.解析(1)由题意得(x+1)(ax+1)0,即(x+1)x+1a0.求不等式的解集,需要比较-1与- 1a的大小,即分a1,0a1时,-1a-1,所以不等式的解集为(-,-1)-1a,+;当0a1时,-1a1时,定义域为(-,-1)-1a,+.令g(x)=(x+1)(ax+1),则g(x)在-52,-32上单调递减,所以g(x)g-32=34a12.所以f(x)loga34a-12.因为f(x)在-52,-32上恒为正,所以loga34
15、a-120,即34a121,解得a2.(3)任取x1,x2-12,13,且x1x2.设h(x)=(x+1)(ax+1)=ax2+(a+1)x+1,其图象的对称轴为x=-a+12a=1212a,因为-1212a12,所以h(x)在-12,13上单调递增,即h(x1)h(x2).对底数a分0a1两种情况讨论求解.当0alogah(x2),即f(x1)f(x2),不满足题意,舍去;当a1,且h(x1)0时,logah(x1)logah(x2),即f(x1)1.思想方法在指数、对数函数问题中,底数对函数的图象和性质有影响,解题时要注意对底数进行分类讨论,这是分类讨论思想在本章中的重要体现.8.B若10
16、|lg x|-a=0有两个实数根,即10|lg x|=a有两个实数根,则函数y=10|lg x|与y=a的图象有两个不同的交点.将方程有两个实数根转化为其对应的两个函数的图象有两个交点.当x1时,lg x0,y=10|lg x|=10lg x=x;当0x1时,y=10|lg x|=10-lg x=1x.所以y=10|lg x|=x,x1,1x,0x1.9.答案(96,99)解析画出函数y=f(x)和y=t的图象,如图所示.设a,b,c,d分别为y=f(x)的图象与直线y=t交点的横坐标.画出函数y=f(x)与y=t的图象,问题转化为有四个交点时求横坐标乘积的范围,结合图象,利用函数的性质求解.由图可知,|log2a|=-log2a=log2b,即ab=1,c+d2=10,且8c9,所以abcd=cd=c(20-c).令g(c)=c(20-c),8c9,因为函数g(c)的图象开口向下,对称轴方程为c=10,所以g(c)在(8,9)上单调递增,g(8)g(c)0,2u2-u+t=0.依题意知方程有两个不等正实根,换元后构造关于u的一元二次方程,根据方程根的情况,应用“三个二次”的关系求解.=1-42t0,t20,解得0t18,故选D.