1、31.2空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算提出问题 作向量aaa，(a)(a)(a)(a0)问题1：的模是a的模的几倍？提示：3倍问题2：的方向与a的方向一致吗？提示：一致问题3：|是|a|的几倍？与a的方向有怎样的关系？提示：3倍，相反导入新知定义与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘几何意义0a与向量a的方向相同a的长度是a的长度的|倍0a与向量a的方向相反0a0，其方向是任意的运算律分配律(ab)ab结合律(a)()a化解疑难对空间向量数乘运算的理解(1)任何实数与向量的积仍是一个向量，当0时，a0.(2)向量数乘运算满足以下运算律：( a) a，(ab
2、)ab.(3)运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算.共线、共面向量提出问题空间中有向量a，b，c(均为非零向量)问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在唯一实数，使ab.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出ab(R)?提示：不能导入新知共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的
3、充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb推论共线(平行)向量共面向量如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使ta，其中a叫做直线l的方向向量，如图所示若在l上取a，则式可化为 t如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使xy ，或对空间任意一点O来说，有xy化解疑难对共线、共面向量的理解(1)共面向量不具有传递性(2)共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据定理中的条件a0不可遗漏(3)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或
4、相反(4)空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面(5)向量p与a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立空间向量的线性运算例1已知正四棱锥PABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值(1)yz；(2) xy.解如图(1)()，yz.(2)O为AC的中点，Q为CD的中点，2，2，2，2，22，x2，y2.类题通法利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握
5、活学活用如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点(1)化简：；(2)设E是棱DD1上的点，且，若xyz，试求实数x，y，z的值解：(1)原式().(2) ()，x，y，z.空间向量共线问题例2如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线解因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以.又因为，以上两式相加得2，所以，即与共线类题通法(1)判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使ab成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出ab，从而得出ab.(2
6、)当两个空间向量共线时，即存在实数，使得ab成立，既可以用于证明，也可以用待定系数法求参数的值活学活用如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在A1D1上，且2，点F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线证明：设a，b，c.2，b，()()abc.abc.又bcaabc，.又EFEBE，E，F，B三点共线.空间向量共面问题例3已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足.(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断M点是否在平面ABC内解(1)3，()()，向量，共面(2)由(1)知向量，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，点M，A，B，C共面，即点M在平面A
7、BC内类题通法(1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明(2)向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)活学活用已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面(2)BD平面EFGH.证明：如图，连接EG，BG.(1)因为()，由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面(2)因为，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.典例(8分)空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中
8、点，F，G分别在边CB，CD上，且，.求证：四边形EFGH为梯形解题流程规范解答根据题意，又，.(2分)，又，活学活用对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，试判断与，的关系解：如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，利用多边形加法法则可得，.又，2，所以，与，共面随堂即时演练1已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则()等于()ABC D.解析：选A()(2).2已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有x，则x的值为()A1 B0C3 D.解析：选Dx，且M，A，B，C四点共面，x1，即x.3在三棱锥ABCD中，若BCD是正三角形，E为其中
9、心，则化简的结果为_解析：延长DE交边BC于点F，则有，故0.答案：04设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知e1ke2，5e14e2，e12e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是_解析：5e14e2，e12e2，(5e14e2)(e12e2)6e16e2.A，B，D三点共线，e1ke2(6e16e2)e1，e2是不共线向量，k1.答案：15.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点证明：向量，是共面向量解：().由向量共面的充要条件知，是共面向量 课时达标检测一、选择题1下列命题中正确的个数是()若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；向量a，b，c共
10、面，即它们所在的直线共面；若ab，则存在唯一的实数，使ab.A0B1C2 D3解析：选A当b0时，a与c不一定共线，故错误；中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故错误；当b为零向量，a不为零向量时，不存在2已知空间向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D解析：选A2a4b2，A，B，D三点共线3若空间中任意四点O，A，B，P满足mn，其中mn1，则()APAB BPABC点P可能在直线AB上 D以上都不对解析：选A因为mn1，所以m1n，所以(1n)n，即n()，即n，所以与共线又有公共
11、起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即PAB.4在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是()A32B0C0D解析：选C0，点M与点A，B，C必共面5已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若xy()，则()Ax1，y Bx，y1Cx1，y Dx1，y解析：选D()所以x1，y.二、填空题6化简：(a2b3c)53(a2bc)_.解析：原式abcabc3a6b3cabcabc.答案：abc7在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.解析：()，又 ，所以.答案：8有下列命题：若，则A，B，C，D四点共线；若，则A，B，C三点共线；若e1，e2为不共线的非零向量，a4e1e2，be1e
12、2，则ab；若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1k2e2k3e30，则k1k2k30.其中是真命题的序号是_(把所有真命题的序号都填上)解析：根据共线向量的定义，若，则ABCD或A，B，C，D四点共线，故错；且，有公共点A，所以正确；由于a4e1e24e1e24b，所以ab，故正确；易知也正确答案：三、解答题9.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；(2)；(3).解：(1).(2)因为点M是BB1的中点，所以.又因为，所以.(3).向量，如图所示10.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是
13、ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断证明：(1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，E，F，G，H分别是所在三角形的重心，M，N，Q，R是所在边的中点，且，.由题意知四边形MNQR是平行四边形，MR()()()()()又.，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面(2)平行证明如下：由(1)得，平面ABCD.又，.即EF平面ABCD.又EGEFE，平面EFGH与平面ABCD平行