1、高考资源网（） 您身边的高考专家11计数原理第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理填一填一、分类加法计数原理1分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法二、分步乘法计数原理1分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种
2、不同的方法2分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法三、分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别1分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事2分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.判一判判断(正确的打“”，错误的打“”)1在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()2在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事()3在分步乘法计
3、数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()4在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事()想一想1.两个计数原理主要解决什么问题？提示：两个计数原理主要解决完成一件事情的方法数问题2在实际问题中如何判断到底是用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理？提示：关键在于看这种方法是能完成这件事还是完成这件事的一步，能独立完成这件事用分类加法计数原理，只能完成一步用分步乘法计数原理3从甲地到乙地有3班汽车，两班火车，则从甲地到乙地有多少种不同方法？提示：从甲地到乙地，可以选择乘坐汽车和火车两类办法，应用分类加法计数原理，汽车有3种，火车有2种，共有325
4、种方法4从甲地到乙地先乘火车，后乘汽车，火车有2趟，汽车有3班，从甲到乙有多少种到达方法？提示：完成从甲地到乙地这件事，分两步，坐火车再坐汽车，分步完成，应用分步乘法计数原理，共有236种方法思考感悟：练一练1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有7位同学只会用综合法证明，有5位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为_解析：由分类加法计数原理可得，有7512种不同的选法答案：122一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有_种解析：任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案：第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3
5、种不同的选法；第二类，从女同学中选取1名参加学科竞争，有5种不同的选法由分类加法计数原理得，不同的选派方法共有358(种)答案：83在平面直角坐标系内，若点P(x，y)的横、纵坐标均在0,1,2,3内取值，则不同的点P有_个解析：确定点P的坐标分两步，即分布确定点P的横坐标与纵坐标第一步，确定横坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，有4种方法；第二步，确定纵坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，也有4种方法根据分步乘法计数原理，所有不同的点P的个数为4416.答案：164人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位吉祥数(首位不能是零)共有_个解析：第一步，确定千位，除
6、去0和6，有8种不同的选法；第二步，确定百位，除去6和千位数字外，有8种不同的选法；第三步，确定十位，除去6和千位、百位上的数字外，有7种不同的选法故共有887448个不同的“吉祥数”答案：448知识点一分类加法计数原理1.一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是()A8 B15C16 D30解析：运用分类加法计数原理可得，不同选法的种数是538.答案：A2在一宝宝面前摆着4件学习用品，3件生活用品，4件娱乐用品，若他只抓其中的一件物品，则他抓的结果有_种解析：抓物品的不同结果分三类，由分类加法计数原理，得共
7、有43411(种)答案：11知识点二分步乘法计数原理3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的配法种数为()A7 B12C64 D81解析：要完成配套需分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法故共有4312(种)不同的配法答案：B4某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队总数有()A11种 B30种C56种 D65种解析：先选1男有6种方法，再选1女有5种方法，故共有6530种不同的组队方法故选B项答案：B知识点三两个原理的
8、综合应用5.某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？解析：分三类：(1)选出的是高一、高二学生，有5630(种)选法；(2)选出的是高一、高三学生，有5420(种)选法；(3)选出的是高二、高三学生，有6424(种)选法由分类加法计数原理，可得共有N30202474(种)不同的选法6现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班
9、级，有多少种不同的选法？解析：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法所以，共有不同的选法N7891034(种)(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长所以，共有不同的选法N789105 040(种)(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选
10、1人，有810种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法所以，共有不同的选法N787971089810910431(种)7某单位职工义务献血，在体验合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解析：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；从A型血的人中选1人有7种不同的选法；从B型血的人中选1人有9种不同的选法；从AB型血的人中选1人有3种不同的选法(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完
11、成，所以用分类加法计数原理，有2879347种不同的选法(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，有287935 292种不同的选法基础达标一、选择题1一楼到二楼有4个通道，二楼到三楼有2个通道，则从一楼到三楼的不同走法有()A2种 B4种C6种 D8种解析：根据分步乘法计数原理，从一楼到三楼的不同走法有428(种)故选D项答案：D2甲、乙两个班级分别有29名、30名学生，从两个班中选一名学生，则()A有29种不同的选法B有30种不同的选法C有59种不同的选法D有2930种不同的选法解析：从两个班中选一名学生，可
12、以从甲班中选，也可以从乙班中选，分两类，利用分类加法计数原理得不同的选法有293059(种)答案：C3已知x1,2,3,4，y5,6,7,8，则xy可表示不同值的个数为()A16 B4C8 D15解析：完成xy这件事分两步走，第一步：从集合1,2,3,4中选一个数，共有4种选法；第二步：从集合5,6,7,8中选一个数，共有4种选法，共有4416种选法其中3846，所以xy可表示的不同值的个数为15.答案：D4现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A56 B65C. D65432解析：每位同学都有5种选择，则6名同学共有56种不同的选法
13、，故选A项答案：A5已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，可得直角坐标系中第一、二象限不同点的个数是()A18 B16C14 D10解析：分两类：第一类M中取横坐标，N中取纵坐标，共有326(个)第一、二象限的点；第二类M中取纵坐标，N中取横坐标，共有248(个)第一、二象限的点综上可知，共有6814(个)不同的点答案：C6从集合1,2,3，10中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A3 B4C6 D8解析：以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.
14、把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2(211)8(个)答案：D7十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有()A24种 B16种C12种 D10种解析：完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有333312种不同的行车路线，故选C项答案：C二、填空题8从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有_种解析：有2个面不相邻即有一组对面，所以3个面中有2个面不相邻的选法有3412(种)答案：129甲有3本
15、不同的书，乙去借阅，并且至少借1本，则不同借法的种数为_(用数字作答)解析：由题意知可分为三类：第一类，借一本，共有3种方法；第二类，借两本，共有3种方法；第三类，借三本，共有1种方法所以不同借法的种数为3317.答案：710直线方程AxBy0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示_条不同的直线解析：若A或B中有一个为零时，有2条；当AB0时，有5420条，则共有20222(条)，即所求的不同的直线共有22条答案：2211集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2，9且PQ，把满足上述条件的一对有序整数(x，y)作为一个点，这样的点的个数是_解析：
16、当x2时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共有7个点当xy时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共有7个点所以这样的点的个数为7714.答案：1412将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有_种解析：由题意知本题是一个分类计数问题，第一格填2，则第二格有A，第三、四格自动对号入座，不用排列；第一格填3，则第三格有A，第二、四格自动对号入座，不用排列；第一格填4，则第四格有A，第二、三格自动对号入座，不用排列；根据分类计数原理知共有3A9.答案：9三、解答题13某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的
17、观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解析：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30292017 400种结果(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20193011 400种结果因此共有不同结果17 40011 40028 800种14用1,2,3,4四个数字组成可有重复数字的三位数，这些数从小到大构成数列an(1)这个数列共有多少项？(2)若an341，求n的值解析：(1
18、)由题意，知这个数列的项数就是由1,2,3,4四个数字组成的可有重复数字的三位数的个数由于每个数位上的数都有4种取法，由分步乘法计数原理，得满足条件的三位数的个数为44464，即数列an共有64项(2)比341小的数分为两类：第一类，百位上的数是1或2，有24432个三位数；第二类，百位上的数是3，十位上的数可以是1,2,3中的任一个，个位上的数可以是1,2,3,4中的任一个，有3412个三位数，所以比341小的三位数的个数为321244，因此341是这个数列的第45项，即n45.能力提升15.某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版
19、，2人印刷，有几种不同的安排方法？解析：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”“只会印刷”“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有313种选法第二类：2人中被选出一人，有2种选法若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步乘法计数原理知共有2316种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步乘法计数原理知共有23212种选法再由分类加法计数原理知共有61218种选法第三类：2人全被选出，同理共有16种选法所以共有3181637种选法16某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分；平一场得1分；负一场得0分一球队打完15场，积分33分若不考虑顺序，问该队胜、负、平的情况共有多少种解析：总积分的来源分为胜、平、负3类，可以考虑用分类加法计数原理设该队胜x场，平y场，则负(15xy)场，其中x，yN.由题意，得3xy33，又因为y333x0，所以x11且xy15，所以有如下三种情况：或或故该队胜、负、平的情况共有3种- 6 - 版权所有高考资源网