1、吉林省辽源市东辽县第一高级中学校2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是A. B. 60C. D. 【答案】A【解析】【分析】由利用余弦定理可得，结合的范围即可得的值【详解】中，可得：，由余弦定理可得：，故选A【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.2.已知平面向量，且，则A.
2、B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量平行求出x的值，结合向量模长的坐标公式进行求解即可【详解】且 ，则 故 故选B.【点睛】本题考查向量模长的计算，根据向量平行的坐标公式求出x的值是解决本题的关键3.等差数列中，则数列的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质得到,即可得到结果.【详解】等差数列中，,解得d=4.故答案为D.【点睛】这个题目考查了等差数列的公式的应用，题目较为简单.4.已知向量，且，则实数（ ）A. B. C. D. 任意实数【答案】B【解析】【分析】计算出向量的坐标，由得，结合向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
3、【详解】，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查利用向量垂直的坐标表示求参数，考查计算能力，属于基础题.5.正项等比数列中，若a1a21，a3a49，那么公比q等于A. 3B. 3或3C. 9D. 9或9【答案】A【解析】因为为正项等比数列，所以其公比由可得，所以，故选A6.设是等差数列的前n项和，则（ ）A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】C【解析】，.本题选择C选项7.已知平面向量满足，若，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用公式进行求解即可【详解】，解得，答案选D【点睛】本题考查形如向量模长的求法，主要根据进行求解，这也是高考中常考点8.某船从A
4、处向东偏北30方向航行千米后到达B处，然后朝西偏南60的方向航行2千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（ ）A. 1千米B. 2千米C. 3千米D. 6千米【答案】A【解析】【分析】画出方向向量，利用余弦定理，列方程求解即可.【详解】解：如图所示，中，由余弦定理可得：，解得，所以处与处之间的距离为1千米故选：A【点睛】本题考查解三角形的应用问题，涉及余弦定理解三角形，也考查了求解运算能力9.已知等比数列的前项和为，若，且，则( )A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】B【解析】分析】由题可判断，根据列方程得，再代入可得，根据公式可得.【详解】当数列公比时，.，得.，.故选：B.【点睛】本题
5、考查等比数列，求等比数列中的项，一般根据条件列方程求出首项和公比即可，注意等比数列公比为1的求和公式，属于基础题.10.已知向量和的夹角为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据数量积的运算律直接展开，将向量的夹角与模代入数据，得到结果【详解】 8+3188+323181，故选D.【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题11.在等比数列中，且，则等于（ ）A. 6B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比中项的性质可知求得的值，进而根据韦达定理判断出和为方程的两个根，求得和，则可求【详解】解：，而，和为方程的两个根，解得，或，故.故选：B.【点睛】本题考查
6、等比数列的性质和等比数列的通项公式，解题过程灵活利用了韦达定理，把数列的两项作为方程的根来解，简便了解题过程12.若是等差数列，首项，则使前项和成立的最小正整数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质，结合题中条件，可得，进而由，可选出答案.【详解】因为等差数列中，所以公差，因为，所以，因为，所以，根据等差数列的性质可知，时，；时，.故使前项和成立的最小正整数是.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前项和的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.如图，设两点在河的两岸，在A所在河岸边选一定点C
7、，测量的距离50m，则可以计算两点间的距离是_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理求得.【详解】依题意可知，由正弦定理得.故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.14.已知向量=(2，1)，=(3，0)，则在方向上的投影为_【答案】2【解析】【分析】根据向量投影公式，计算出在上的投影.【详解】依题意，在上的投影为.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量投影的概念和运算，属于基础题.15.设为等差数列的前n项和，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据求得的关系式，由此求得的值.【详解】由于数列是等差数列，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式的基本量计
8、算，属于基础题.16.在平行四边形中，是上一点，最小值是_【答案】【解析】【分析】将用表示，即，只需求出即可.【详解】由余弦定理可得，设，当时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的最值问题，考查学生的运算求解能力、数形结合的思想，是一道中档题.三、解答题（共6小题，共70分）17.设等差数列满足，（）求的通项公式；（）求的前项和及使得最大的序号的值【答案】an=11-2n,n=5时，Sn取得最大值【解析】试题分析：解：（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9得,a1+9d=-9，a1+2d=5,解得d=-2，a1=9，,数列an的通项公式为an=11-2n,（2
9、）由（1）知Sn=na1+d=10n-n2因为Sn=-（n-5）2+25所以n=5时，Sn取得最大值考点：等差数列点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性18.在中，分别是角对边，且（1）求的大小；（2）若，求的面积【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（）先利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式进行求解.试题解析：（）由 又所以. （）由余弦定理有 ，解得，所以点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算
10、量，若本题中的.19.设是公比为正数的等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设是首项为1的等差数列，且，求并求数列的前项和.【答案】(1) (2) .【解析】【分析】(1)根据等比数列的通项公式得到，解出方程，代入通项公式即可；（2）由题干得到，之后按照等差和等比的求和公式分组求和即可.【详解】（1）设为等比数列的公比，则由，得，即，解得或（舍去），因此，所以的通项公式为；（2）是首项为1，且，所以数列是公差为2的等差数列， .【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通
11、项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等20.在中，是边上一点，且，.（1）求的长；（2）若的面积为14，求的长.【答案】（1）1；（2）5.【解析】【分析】（1）由同角三角函数关系求得，再由两角差的正弦公式求得，最后由正弦定理构建方程，求得答案.（2）在中，由正弦定理构建方程求得AB，再由任意三角形的面积公式构建方程求得BC，最后由余弦定理构建方程求得AC.【详解】（1）据题意，且，所以.所以.在中，据正弦定理可知，所以.（2）在中，据正弦定理可知，所以.因为的面积为14，所以，即，得.在中，据余弦定理可知，所以.【点睛】本题考查由正弦定理与余弦定理解三角形，还考查了
12、由同角三角函数关系和两角差的正弦公式化简求值，属于简单题.21.已知函数.（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；（2）已知，若，求的面积.【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可求得该函数的单调递增区间；（2）由求得，由得出或，分两种情况讨论，结合余弦定理解三角形，进行利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1），所以，函数的最小正周期为，由得，因此，函数的单调递增区间为；（2）由，得，或，或，又，即.当时，即，则由，得，则，此时，的面积为；当时，则，即，
13、则由，解得，.综上，的面积为.【点睛】本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及余弦定理解三角形的应用，考查计算能力，属于中等题.22.在锐角三角形中，角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可；（2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围.试题解析：（1）因为，由正弦定理得，即，则根据余弦定理得又因为，所以（2）因为，所以则因为三角形为锐角三角形且，所以则所以，所以即取值范围为点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.
