1、抛物线的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程(重点)2掌握抛物线的定义及其标准方程的应用(难点)1通过抛物线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养2借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理，数学运算素养在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮击炮，击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，地面上要防击炮的工事就必须是有顶盖的对于躲在战壕中的敌人，击炮的密集发射无疑是一场灾难因此研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要“走入”抛物线看一看追击炮的弹道曲线1抛物线的定义思考1：平面内到一定点距离与到一定
2、直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？提示不一定当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y思考2：确定抛物线的标准方程时，一般需要确定几个量？ 提示：确定两个量，一个是p，另一个是一次项系数的正负思考3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ 提示一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定1思考辨析(正确的打
3、“”，错误的打“”)(1)标准方程y22px(p0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定()(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线()答案(1)(2)(3)提示(1)抛物线的标准方程中p(p0)即为焦点到准线的距离(2)一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴还是负半轴上(3)当定点在直线上时，不表示抛物线2抛物线yax2的准线方程是y2，则实数a的值为()ABC8D8B由yax2，得x2y，2，a3抛物线y216x的焦点坐标为()A(4,0)B(4,0)C(0,4) D(0，4)Ay216x，
4、p8，4，开口方向向左，焦点坐标为(4,0)4抛物线x216y的准线方程为 y4抛物线的焦点在y轴上，开口方向向上，故准线方程为y，且2p16，4，准线方程为y4求抛物线的标准方程【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点M(6,6)；(2)焦点F在直线l：3x2y60上思路探究 解(1)由于点M(6,6)在第二象限，过M的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y22px(p0)，将点M(6,6)代入，可得362p(6)，p3抛物线的方程为y26x若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x22py(p0)，将点M(6,6)代入可得，362p6，p3，抛物线
5、的方程为x26y综上所述，抛物线的标准方程为y26x或x26y(2)直线l与x轴的交点为(2,0)，抛物线的焦点是F(2,0)，2，p4，抛物线的标准方程是y28x直线l与y轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是F(0，3)，3，p6，抛物线的标准方程是x212y综上所述，所求抛物线的标准方程是y28x或x212y求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型；(2)求参数p的值；(3)确定抛物线的标准方程.提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2ax或x2ay(a0)的形式，以简化讨论过程.1已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(5,2
6、)到焦点的距离为6，求抛物线的标准方程解设焦点F(a,0)，|PF|6，即a210a90，解得a1，或a9当焦点为F(1,0)时，p2，抛物线的开口向左，其方程为y24x；当焦点为F(9,0)时，p18，抛物线开口向左，其方程为y236x抛物线定义的应用探究问题1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？提示抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线 2如何看待抛物线中焦点和准线的位置？提示焦点在抛物线开
7、口方向的内部，而准线在外部，即“怀抱焦点，背着准线”3抛物线方程中参数p的几何意义是什么？提示抛物线的标准方程中参数p的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距)，所以p的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p0的错误【例2】若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大求点M的轨迹方程思路探究把|MF|比M到y轴的距离大，转化为|MF|与点M到x的距离相等，从而利用抛物线定义求解解由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x的距离相等由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方
8、程应为y22px(p0)的形式，而，所以p1,2p2，故点M的轨迹方程为y22x(x0)1(变换条件、改变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标解设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|2，即2y4，又由例题的解析知点M的轨迹方程为y22x(x0)，故y2x0，由可得或故点N的坐标为或2(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|MF|的最小值，并求出点M的坐标解如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|MF|MA|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|MN|取最小值，亦即|MA|MF|取
9、最小值， 最小值为3这时点M的纵坐标为2，可设M(x0,2)，代入抛物线方程得x02，即M(2,2)抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 抛物线的实际应用【例3】(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是()A1125 cmB5625 cmC20
10、 cm D10 cm(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长(1)B如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y22px(p0)A(40,30)在抛物线上，3022p40，p，光源到反光镜顶点的距离为5625(cm)(2)解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)依题意知，点P(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25即抛物线方程为x225y每4米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2,2,6由图知，AB是最长的支柱之一设点B的坐标为(2，yB)，解得yB，点A的坐标为(2，4)，|AB|yB(4)4384，最长
11、支柱的长为384米求抛物线实际应用的五个步骤(1)建立适当的坐标系(2)设出合适的抛物线方程(3)通过计算求出抛物线的标准方程(4)求出需要求出的量(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题2河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高075 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA
12、，则A(2，yA)，由22yA，得yA又知船面露出水面上的部分高为075 m，所以h|yA|0752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m时，小船开始不能通航1抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上2确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)1抛物线y24x上的点M(4，y0)到其焦点F的距离为()A3B4C5 D6C由抛物线y24x，得F(
13、1,0)，如图，|FM|44152抛物线的准线方程为x4，则抛物线方程为()Ax216y Bx28yCy216x Dy28xC抛物线的准线为x4，易知抛物线是开口向右的抛物线设方程为y22px(p0)，则4，p8，抛物线方程为y216x3若抛物线y22px(p0)的焦点与椭圆1的右焦点重合，则实数p 4因为椭圆1，所以a26，b22，所以c2a2b24，故c2，所以右焦点为(2,0)，所以2，p44抛物线y22px(p0)上有一点M的横坐标为9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标解设焦点为F，M点到准线的距离为d，则d|MF|10，即910，p2，抛物线方程为y24x将M(9，y)代入抛物线的方程，得y6M点坐标为(9,6)或(9，6)
