1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在下列图形中,表示函数关系y=f(x)的是() A B C D2.函数f(x)=1x+1+9-x2的定义域为()A.(-3,-1)(-1,3)B.(-3,-1)(3,+)C.-3,3D.(-1,33.函数y=2x+1-3x的值域是()A.-,23B.2524,+C.-,2524D.23,+4.已知函数f(x)=x2,x1,4-a2x-1,x1,若f(x)是R上的增函数,则实数a的取值范围为()A.(1,+)B.4,8)C.1,4)D.2,
2、8)5.已知定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2(-,0),都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,f(-1)=0,则不等式xf(x)0的解集是()A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)(0,1) 6.函数f(x)=(x-1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和,则g(1)等于()A.-2B.0 C.1D.27.定义在-1,1上的函数f(x)满足下列两个条件:对任意的x-1,1,都有f(-x)=-f(x);对任意的m,n0,1,当mn时,都有 f(m)-f(n)m-n0,则不等式f(1-2x)+f(1-x)0的解集是()A.
3、0,12B.12,23C.-1,12D.0,238.形如f(x)=1|x|-1的函数因其图象类似于汉字“囧”,故被称为“囧函数”,则下列说法正确的个数为()函数f(x)的定义域为x|x1;f(f(2 020)=-2 0192 018;函数f(x)的图象关于直线x=1对称;当x(-1,1)时,f(x)max=-1;函数g(x)=f(x)-x2+4的图象与x轴有4个交点.A.2B.3 C.4D.5二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知f(x)=2xx2+1,则下列说法正确的有(
4、)A.f(x)为奇函数B.f(x)的值域是-1,1C.f(x)在-1,1上单调递增D.f(x)的值域是(-,-11,+)10.我们称具有性质f1x=-f(x)的函数为满足“倒负”变换的函数,则下列函数中满足“倒负”变换的函数是()A.f(x)=2x-x2B.f(x)=x-1xC.f(x)=x+1xD.f(x)=x,0x111.假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量用x(t)表示,被捕食者的数量用y(t)表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中
5、箭头方向为时间增加的方向.下列说法不正确的是()A.若在t1、t2时刻满足y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)B.如果y(t)的数量是先上升后下降的,那么x(t)的数量也一定是先上升后下降的C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时达到最大值或最小值D.被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值12.已知f(x)=x2-6x+6,x0,3x+4,x0,若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),且x1x20,若f(x)m2-2am-5对任意x-1,1,a-1,1恒成立,则实数m的取值范围是.16.设函数f(x)的定义域为(0,+),满足f
6、(x+1)=13f(x),且当x(0,1时,f(x)=1+2x2x,则当x(0,1时,f(x)的最小值为;若对任意x(0,m(m0),都有f(x)1181恒成立,则实数m的最大值是.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=-x2+2|x|.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)将函数f(x)写成分段函数的形式,在如图所示的坐标系内作出函数的图象,并直接写出单调区间.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x+1x+1.(1)求f(x)在R上的解析式;(2)判断f(
7、x)在(0,1)内的单调性,并给出证明.19.(本小题满分12分)2018年10月24日,世界上最长的跨海大桥港珠澳大桥正式通车.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到220辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为0千米/时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为100千米/时.研究表明:当20x220时,车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的一次函数.(1)当0x220时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x(单位:辆/千米)为多大时,车流量f(x)=xv(x)可以达到最大?并求出最大车流量.
8、(注:车流量是指单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)20.(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)是单调函数,满足f(3)=6,且f(x+y)=f(x)+f(y)(x,yR).(1)求f(0),f(1);(2)判断f(x)的奇偶性;(3)若对于任意x12,3,都有f(kx2)+f(2x-1)0成立,求实数k的取值范围.21.(本小题满分12分)已知一次函数y=f(x)满足f(x-1)=2x+a,.在所给的三个条件中,任选一个补充到题目中,并作答.f(a)=5;4a=f 12;4f(1)-2f(2)=6.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)若g(x)=xf(x)+f(x
9、)+x在0,2上的最大值为2,求实数的值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.22.(本小题满分12分)如果函数y=f(x)在定义域内给定区间a,b上存在x0(ax00,9-x20,解得-1x3.故选D.3.C设t=1-3x(t0),则x=1-t23,所以y=2(1-t2)3+t=23t2-32t-1=23t-342-2516,因为t0,且-230,124-a21-1,解得4a8.故选B.5.D由于对任意的x1,x2(-,0),都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,所以函数f(x)在(-,0)上为减函数,由于f(x)是R上的偶函数,所以f(x)在(0,+)上为增函数,且f(1
10、)=f(-1)=0.画出f(x)的大致图象,如图所示:由图可知,不等式xf(x)0的解集是(-,-1)(0,1).故选D.6.Dh(x)是奇函数,h(-x)=-h(x),g(x)是偶函数,g(-x)=g(x),由题可得h(x)+g(x)=(x-1)2,h(-x)+g(-x)=(-x-1)2,即-h(x)+g(x)=(-x-1)2,由+得2g(x)=(x-1)2+(-x-1)2=2x2+2,g(x)=x2+1,g(1)=1+1=2.故选D.7.D由知函数f(x)在-1,1上为奇函数,且f(0)=0,由知函数f(x)在0,1上为减函数,所以函数f(x)在-1,1上既是奇函数,也是减函数,所以原不等
11、式可变形为f(1-2x)f(x-1),所以-1x-11-2x1,解得0x0且x1,-1x+1,x0且x-1,作出y=1|x|-1和y=x2-4的图象如图所示,可知,正确.故选B.二、多项选择题9.ABC对于选项A,f(x)=2xx2+1的定义域为R,f(-x)=-2xx2+1=-f(x),则f(x)为奇函数,故A正确;对于选项B,y=2xx2+1,即yx2-2x+y=0,令=4-4y20,解得-1y1,即f(x)的值域为-1,1,故B正确,D错误;对于选项C,任取x1,x2R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1x12+12x2x22+1=2(x2-x1)(x1x2-1)(x12+1)
12、(x22+1),当x1,x2-1,1时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在-1,1上单调递增,故C正确.故选ABC.10.BDf1x=-f(x),即-f1x=f(x),x0.对于A选项,x=0在定义域内,不符合题意.对于B选项,-f1x=1x-x=x1x=f(x),满足“倒负”变换.对于C选项,-f1x=1x+x=x1xf(x),不符合题意.对于D选项,当0x1,此时-f1x=-(-x)=x=f(x);当x=1时,1x=1,此时-f1x=-f(1)=0=f(x);当x1时,01x1,此时-f1x=1x=f(x),满足“倒负”变换.故选BD.11.ABD由题图可知,
13、曲线上的点纵坐标相等时横坐标未必相等,故A中说法不正确;在曲线上半段中观察到y(t)从右到左是先上升后下降的,而x(t)从右到左是不断变小的,故B中说法不正确;捕食者数量最大时是在题图的最右端,最小时是在题图的最左端,此时都不是被捕食者数量的最值处,同样当被捕食者数量最大(即题图的最上端)和最小(即题图的最下端)时,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大值或最小值,故C中说法正确;当捕食者数量最大时在题图的最右端,x(t)(25,30),y(t)(0,50),此时二者总和x(t)+y(t)(25,80),由题图可知存在x(t)=10,y(t)=100,x(t
14、)+y(t)=110,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,被捕食者数量也会达到最大值,故D中说法错误.故选ABD.12.ABC作出f(x)的图象,如图所示.由图象可知,x2+x3=6,故C正确;令3x+4=-3,解得x=-73,所以x1-73,0,故A正确;结合上述分析易知x1+x2+x3的取值范围为113,6,故B正确.故选ABC.三、填空题13.答案-3解析易知函数f(x)为奇函数,f(-1)=-f(1)=-3.14.答案-2解析当a=2时,f(x)=-4,值域是-4,不符合题意,故舍去;当a2时,f(x)0,则a-20 等价于 f(x1)-f(-x2)x1-(-x2)0
15、,f(x)在-1,1上单调递增.f(1)=2,f(x)min=f(-1)=-f(1)=-2.f(x)m2-2am-5对任意x-1,1,a-1,1恒成立,即-2m2-2am-5对任意a-1,1恒成立,m2-2am-30对任意a-1,1恒成立.设g(a)=m2-2am-3,则g(-1)=m2+2m-30,g(1)=m2-2m-30,即-3m1,-1m3,-1m1,实数m的取值范围是-1,1.16.答案22;103解析由f(x)=1+2x2x得f(x)=1x+2x,因为x(0,1,所以f(x)=1x+2x21x2x=22,当且仅当1x=2x,即x=22时取等号,所以f(x)的最小值为22.因为f(x
16、+1)=13f(x),所以f(x)=13f(x-1),因为当x(0,1时,f(x)=1+2x2x22,+),所以当x(1,2时,x-1(0,1, f(x)=13f(x-1)=131+2(x-1)2x-1=131x-1+2(x-1)223;当x(2,3时,x-1(1,2,x-2(0,1,f(x)=13f(x-1)=19f(x-2)=191x-2+2(x-2)229;当x(3,4时,x-1(2,3, x-2(1,2,x-3(0,1,f(x)=13f(x-1)=19f(x-2)=127f(x-3)=1271x-3+2(x-3)2227.因为22911812227,所以当x(3,4时,1271x-3+
17、2(x-3)=1181,解得 x=103.若对任意x(0,m(m0),都有f(x)1181恒成立,则m103,所以实数m的最大值为103.四、解答题17.解析(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,(1分)对于任意的x,f(-x)=-(-x)2+2|-x|=-x2+2|x|=f(x),故f(x)是偶函数.(3分)(2)当x0时,f(x)=-x2+2|x|=-x2+2x,其图象为开口向下,对称轴为直线x=1的抛物线的一部分;当x0时,f(x)=-x2+2|x|=-x2-2x,其图象为开口向下,对称轴为直线x=-1的抛物线的一部分.故f(x)=-x2+2x,x0,-x2-2x,x0.(5分)
18、作图如下:(7分)由图象可知,函数的单调递增区间为(-,-1),(0,1),单调递减区间为(-1,0),(1,+).(10分)18.解析(1)设x0,f(-x)=-x-1x+1,(2分)f(x)是R上的奇函数,f(-x)=-f(x),f(0)=0,当x0,0,x=0,x+1x-1,x0. (6分)(2)函数在(0,1)内单调递减.(7分)证明:在(0,1)内任取x1,x2,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+1x1+1x2+1x2+1 =x1-x2-x1-x2x1x2 =(x1-x2)x1x2-1x1x2,(8分)当0x1x21时,x1-x20,x1x2-10,(10分)所以f(x1)
19、-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数在(0,1)内单调递减.(12分)19.解析(1)由题意可得,当0x20时,v(x)=100.(2分)当20x220时,设v(x)=ax+b(a0).则v(20)=20a+b=100,v(220)=220a+b=0,解得a=-12,b=110,(4分)所以v(x)=100,0x20,-12x+110,20x220.(6分)(2)由(1)得f(x)=xv(x)=100x,0x20,-12x2+110x,20x220.(7分) 当0x20时,f(x)=100x为增函数,所以f(x)的最大值为f(20)=2 000;(9分)当20x220时,f(x)=
20、-12x2+110x=12(x-110)2+6 050,则当x=110时,f(x)取得最大值,且f(x)的最大值为f(110)=6 050.(11分)综上所述,当车流密度为110辆/千米时,车流量最大,最大车流量为6 050辆/时.(12分)20.解析(1)令x=0,得f(0+y)=f(0)+f(y),即f(y)=f(0)+f(y),f(0)=0.(1分)f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=6,f(1)=2.(3分)(2)令y=-x,则f(0)=f x+(-x)=f(x)+f(-x)=0,(5分)f(-x)=-f(x),函数f(x)是奇函数.(
21、6分)(3)f(x)是奇函数,且f(kx2)+f(2x-1)0在x12,3上恒成立,f(kx2)f(1-2x)在x12,3上恒成立,且f(0)=0f(1)=2,f(x)在R上是增函数,(8分)kx21-2x在x12,3上恒成立,k1x221x在x12,3上恒成立.(10分)令g(x)=1x221x=1x-12-1.12x3,131x2,g(x)min=g(1)=-1,k1,即-4时,f(x)max=f(0)=3,所以3=2,解得=23(舍去).综上所述,=-2.(12分)选.(1)由4a=f12得4a=212+2+a,解得a=1,所以f(x)=2x+3.(6分)(2)同选中的(2).(12分)
22、选.(1)由4f(1)-2f(2)=6得4(2+2+a)-2(4+2+a)=6,解得a=1,所以f(x)=2x+3.(6分)(2)同选中的(2).(12分)22.解析(1)是.(1分)由已知得 f(1)-f(-1)1-(-1)=0,因为x4=0的解有且只有x=0,所以y=x4是-1,1上的平均值函数,且它的均值点为0.(4分)(2)因为函数f(x)=-2x2+2mx+1是-1,1上的平均值函数,所以f(1)-f(-1)1-(-1)=2m,即关于x的方程-2x2+2mx+1=2m在(-1,1)内有实数根,即2x2-2mx+2m-1=0在(-1,1)内有实数根.(6分)令g(x)=2x2-2mx+2m-1,则g(1)=1,g(-1)=4m+1.当g(-1)0,即m0,即m-14时,要使得方程2x2-2mx+2m-1=0在(-1,1)内有实数根,则0,且函数图象的对称轴在(-1,1)内,即4m2-8(2m-1)0,m2(-1,1),解得-14m22.综上,实数m的取值范围是m2-2.(12分)