1、3.4生活中的优化问题举例提出问题某厂家计划用一种材料生产一种盛500 mL溶液的圆柱形易拉罐问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？提示：计算出圆柱的表面积即可问题2：如何制作使用材料才能最省？提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S2x2(x0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可导入新知1优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2用导数解决优化问题的基本思路化解疑难1在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去2在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系
2、用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围面积、容积最值问题例1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度)(1)将S表示为的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积解(1)BMAOsin 100sin ，ABMOAOcos 100100cos ，(0，)则SMBAB100sin (100100cos )5 000(sin sin cos )，(0，
3、)(2)S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1)令S0，得cos 或cos 1(舍去)，此时.当变化时，S，S的变化情况如下表：S0S极大值所以，当时，S取得最大值Smax3 750 m2，此时AB150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m. 类题通法解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值活学活用用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图所示)问：该容器的高为多少时，容器的容积最大？最
4、大容积是多少？解：设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)，V(x)12x2552x4 32012(x246x360)12(x10)(x36)令V(x)0，得x110，x236(舍去)当0x0，V(x)是增函数；当10x24时，V(x)0，V(x)是减函数因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x10时取得最大值，其最大值为V(10)10(9020)(4820)19 600(cm3)故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.用料最省(成本最低)问题例2某地建一座桥，
5、两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以，yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xmm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当
6、64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x64处取得最小值，此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小类题通法解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值活学活用甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(单位：元)关于速度v(单位：千米/时)的函数关系是Pv4v315v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式(2)为
7、使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值解：(1)QP400v26 000(0v100)(2)Q5v，令Q0，则v0(舍去)或v80.当0v80时，Q0；当80v100时，Q0，v80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且QminQ(80)(元).利润最大问题例3某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售额约为t25t(单位：百万元，且0t5)(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销
8、和技术改造经预测，每投入技术改造费x(单位：百万元)，可增加的销售额约为x3x23x(单位：百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益销售额投入)解(1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(3x)百万元，又设由此获得的收益是g(x)，则g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.当0x2时，g
9、(x)0；当2x3时，g(x)0，故g(x)在0,2)上是增函数，在(2,3上是减函数当x2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大类题通法(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动(2)关于利润问题常用的两个等量关系利润收入成本利润每件产品的利润销售件数活学活用某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p(xN
10、*)(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；(2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解：(1)因为次品率p，所以当每天生产x件时，有x件次品，有x件正品所以T200x100x25(xN*)(2)T25，由T0，得x16或x32(舍去)当0x0；当x16时，T0; 所以当x16时，T最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利.典例(12分)如图所示，有一块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD2x，梯形面积为S.(1)求S以x为自变量的函数表达式，并写出其定义域；(2)
11、求S的最大值解题流程活学活用有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问：供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解：如图所示，依题意，点C在线段AD上，设C点距D点x km，则BD40，AC50x，所以BC.设总的水管费用为y元，则y3a(50x)5a(0x50)，y3a，令y0，解得x130，x230(舍去)当x30时，y0；当x30时，y0，所以当x30时，y取得最小值，此时AC503020(km)，即
12、供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省随堂即时演练1做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A6 mB8 mC4 m D2 m解析：选C设底面边长为x m，高为h m，则有x2h256，所以h.设所用材料的面积为S m2，则有S4xhx24xx2x2.S2x，令S0，得x8，因此h4(m)2已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件解析：选Cyx281，令y0，解得x9或x9(舍去)当0x9时，y0；当x9时，y0
13、.所以当x9时，y取得最大值3做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_解析：设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则VR2L27，所以L.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小S表R22RLR22，令S表2R0，得R3，即当R3时，S表最小答案：34某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)为使利润最大，应生产_千台解析：设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)令y0，解得x0或x6，经检验知x6既是函数的极大值点
14、又是函数的最大值点答案：65某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0x30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，由题意知24k22，得k6.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)(30x9)(4326x2)(21x)(4326x2)，所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,30(2)根据(1)有f(x)
15、18x2252x43218(x2)(x12)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：0(0,2)2(2,12)12(12,30)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减故x12时，f(x)取得极大值，因为f(0)9 072，f(12)11 664，所以定价为301218元时，能使一个星期的商品销售利润最大课时达标检测一、选择题1某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()A30B40C50 D60解析：选BV(x)2xx2x260xx(x40)令V(x)0，得x40或x0(舍)故不难确定x40时，V(x)有最大值选B
16、.2某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q8 300170PP2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元B60元C28 000元 D23 000元解析：选D毛利润为(P20)Q，即f(P)(P20)(8 300170PP2)，f(P)3P2300P11 7003(P130) (P30)令f(P)0，得P30或P130(舍去)又P20，)，故f(P)maxf(P)极大值，故当P30时，毛利润最大，f(P)maxf(30)23 000(元)3内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为()A.和R B
17、.R和RC.R和R D以上都不对解析：选B设矩形一边的长为x，则另一边的长为2，则l2x4(0xR)，l2，令l0，解得x1R，x2R(舍去)当0xR时，l0；当RxR时，l0.所以当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.4某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x,0x390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A150 B200C250 D300解析：选D由题意可得总利润P(x)R(x)100x20 000300x20 000，0x390，P(x)x2300.令P
18、(x)0，得x300.当0x0；当300x390时，P(x)0.所以当x300时，P(x)最大5某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A32 m,16 mB30 m,15 mC40 m,20 m D36 m,18 m解析：选A设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x m，其他两边的边长均为y m，则xy512.则所用材料lx2y2y(y0)，求导数，得l2.令l0，解得y16或y16(舍去)当0y16时，l0；当y16时，l0.所以y16是函数l2y(y0)的极小值点，也是最小值点，
19、此时，x32.所以当堆料场的长为32 m，宽为16 m时，砌新墙壁所用的材料最省二、填空题6已知某矩形广场面积为40 000 m2，则其周长至少为_m.解析：设广场的长为x m，则宽为 m，于是其周长为y2(x0)，所以y2，令y0，解得x200(x200舍去)，这时y800.当0x200时，y0；当x200时，y0.所以当x200时，y取得最小值，故其周长至少为800 m.答案：8007要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为_cm.解析：设该漏斗的高为x cm，体积为V cm3，则底面半径为 cm，Vx(202x2)(400xx3)(0x20)，则V(4003x2
20、)令V0，解得x1，x2 (舍去)当0x0；当x20时，V0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为_解析：存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x(0,0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，由于y0.096kx3kx2，令y0得x0.032或x0(舍去)，又当0x0；当0.032x0.048时，y0和x0，得0x1.6.设容器容积为y m3，则yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6
21、)，y6x24.4x1.6.令y0，得x11，x2(舍去)，当0x0；当1x1.6时，y0.所以在x1处y有最大值，此时容器的高为1.2 m，最大容积为1.8 m3.10某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数为y3 240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？年利润(每辆车的出厂价每辆车的投入成本)年销售量解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1x)，每辆车的出厂价为13(10.7x)，年利润为f(x)13(10.7x)10(1x)y(30.9x)3 2403 240(0.9x34.8x24.5x5)(0x0，f(x)是增函数；当x时，f(x)0，f(x)是减函数所以当x时，f(x)取极大值，f20 000，因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值所以当x时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元
