1、第2节二项式定理一、教材概念结论性质重现1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tk1Cankbk，它表示展开式的第k1项二项式系数C(k0,1,2，n)(ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同2二项式系数的性质二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，
2、错的打“”(1)Cankbk是(ab)n的展开式中的第k项( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项( )(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关( )(4)通项公式Tk1Cankbk中的a和b不能互换( )(5)(ab)n的展示式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同( )2(12x)4展开式中第3项的二项式系数为()A6B6 C24D24A解析：(12x)4展开式中第3项的二项式系数为C6.故选A.3二项式5的展开式中x3y2的系数是()A5B20 C20D5A解析：二项式5的通项公式为Tk1C5k(2y)k.根据题意，得解得
3、k2.所以x3y2的系数是C3(2)25.故选A.4(2020天津联考)已知8的展开式中常数项为112，则实数a的值为()A1B1 C2D2A解析：8展开式中的通项公式为 Tk1C()8kkC(2a)kxk.令k0，求得k2，所以它的展开式的常数项是C(2a)2.再根据展开式中的常数项是112，可得C(2a)2112，求得a1.故选A.5(x1)5(x2)的展开式中x2的系数为_15解析：(x1)5(x2)x(x1)52(x1)5展开式中含有x2的项为20x25x215x2.故x2的系数为15.6若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为_8解析：令x1，则a0a1a
4、2a3a40.令x1，则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48.考点1二项展开式的通项公式及其应用基础性考向1求二项展开式中的特定项(1)(2020全国卷)6的展开式中常数项是_(用数字作答)240解析：展开式的通项为Tk1C(x2)6kk2kCx123k.令123k0，解得k4，故常数项为24C240.(2)(2019浙江卷)在二项式(x)9的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_165解析：由题意，(x)9的通项公式为Tk1C()9kxk(k0,1,2，9)当k0时，可得常数项为T1C()916.若展开式的系数为有理数，则k1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8
5、，T10共5个求二项展开式中特定项的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tk1Cankbk，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k；第三步，把k代入通项公式中，即可求出Tk1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk1或者其他量考向2形如(ab)m(cd)n(m，nN*)的展开式(1)(2020全国卷)(xy)5的展开式中x3y3的系数为()A5B10 C15D20C解析：要求(xy)5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出(xy)5的展开式中x2y3和x4y的系数
6、再相加即可由二项式定理可得(xy)5的展开式中x2y3的系数为C10，x4y的系数为C5，故(xy)5的展开式中x3y3的系数为10515.故选C.(2)(x21)5的展开式的常数项是()A5B10 C32D42D解析：5的通项公式为C5k(2)kC(2)kx.令0，解得k5；令2，得k1.故(x21)5的展开式的常数项是C(2)C(2)542.求解形如(ab)n(cd)m的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(ab)2(cd)m(a22abb2)(cd)m，然后展开分别求解(2)观察(ab)n(cd)m是否可以合并，如(1x)5(1x)7(1x)(1x)5(1x)2
7、(1x2)5(1x)2.(3)分别得到(ab)n，(cd)m的通项公式，综合考虑考向3形如(abc)n(nN*)的展开式(x2xy)5的展开式中，x5y2项的系数为()A10B20 C30D60C解析：(方法一)(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.(方法二)(x2xy)5表示5个x2xy之积，所以x5y2可从其中5个因式中，2个取因式中的x2，剩余的3个因式中1个取x,2个因式取y，因此x5y2的系数为CCC30.求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再
8、用二项式定理求解(2)两次利用二项式定理的通项公式求解(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量1(2020海淀区高三一模)在6的展开式中，常数项为()A120B120 C160D160C解析：6展开式的通项公式为Tk1(1)k2kCx2k6 .令2k60，得k3.所以常数项为T31(1)323C160.故选C.2(2021烟台模拟)已知n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7的系数为()A5B40 C20D10B解析：由n的展开式的各项系数和为243，令x1，得3n243，即n5，所以n
9、5，则Tk1C(x3)5kk2kCx154k.令154k7，得k2，所以展开式中x7的系数为22C40.3(2021八省联考)(1x)2(1x)3(1x)9的展开式中x2的系数是()A60B80 C84D120D解析：(1x)2(1x)3(1x)9的展开式中x2的系数是CCCC.因为CC，所以CCCCC.所以CCCCCC.以此类推，CCCCCCC120.4(2020攀枝花市高三三模)(x2x2)3的展开式中，含x4的项的系数是()A9B9C3D3D解析：因为(x2x2)3(x2)3(x1)3，所以含x4的项为Cx3CxCx2(2)Cx2Cx(2)2Cx33x4.故选D.考点2二项式系数与各项的
10、系数和问题基础性(1)在二项式(12x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A960B960 C1 120D1 680C解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(12x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n256，解得n8，则(12x)8的展开式的中间项为第5项，且T5C(2)4x41 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120.故选C.(2)(2020哈尔滨市第一中学高三一模)若(12x)8a0a1xa2x2a8x8，则|a0|a1|a2|a3|a8|()A281B28 C381D38D解析：由题可知，x的奇数次幂的系数均为
11、负数，所以|a0|a1|a2|a3|a8|a0a1a2a3a8.因为(12x)8a0a1xa2x2a8x8，令x1得a0a1a2a3a838，则|a0|a1|a2|a3|a8|38.故选D.(1)赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立因此，可将x，y设定为一些特殊的值在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取1，1或0，有时也取其他值如：形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x1即可；形如(axby)n(a，bR)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa2x2a
12、nxn，则f(x)的展开式中，各项系数之和为f(1)；奇数项系数之和为a0a2a4；偶数项系数之和为a1a3a5.1(2020广西高三5月联考)若(ax2)(1x)n的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为()A30B45 C60D81B解析：令x0，得a2，所以(ax2)(1x)n(2x2)(1x)n.令x1，得32n192，所以n6.故该展开式中x4的系数为2CC45.故选B.2(2020大同一中高三一模)若a0a1(2x1)a2(2x1)2a3(2x1)3a4(2x1)4a5(2x1)5x5，则a2的值为()A. B. C. D.C解析：因为x5(2x1)1
13、5，所以二项式(2x1)15的展开式的通项公式为Tk1C(2x1)5k1kC(2x1)5k.令k3，所以T4C(2x1)2.因此有a2CC.故选C.3(多选题)(2020南京市高三开学考试)已知(2x)(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6，则()Aa0的值为2Ba5的值为16Ca1a2a3a4a5a6的值为5Da1a3a5的值为120ABC解析：令x0，得a02，故A正确2(2)5C(2)4C16，故a516，B正确令x1，得a0a1a2a3a4a5a63.又a02，所以a1a2a3a4a5a65，故C正确令x1，得a0a1a2a3a4a5a6243.由得a1a3a5
14、123，D错误故选ABC.考点3二项式系数的性质综合性考向1二项式系数的最值问题(2020大庆市高三三模)若n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是()A462B462 C792D792D解析：因为n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以n为偶数，展开式共有13项，则n12.12的展开式的通项公式为Tk1(1)kCx122k.令122k2，得k5.所以展开式中含x2项的系数是(1)5C792.故选D.考向2项的系数的最值问题(1)(2020邵阳市高三第一次联考)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.
15、若13a7b，则m ()A5B6 C7D8B解析：由题意可知Ca，Cb.因为13a7b，所以13C7C，即137，所以137，解得m6.故选B.(2)(2020延安市第一中学高三月考)已知(x3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：展开式中二项式系数最大的项；展开式中系数最大的项解：令x1，则展开式中各项系数和为(13)n22n.又展开式中二项式系数和为2n，所以22n2n992，n5.因为n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3,4两项，所以T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.设展开式中第r1项系数最大，则Tr1C(x)5r(3
16、x2)r3rCx.所以解得r.所以r4，即展开式中第5项的系数最大，T5405x.1二项式系数最大项的确定方法当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或.2二项展开式系数最大项的求法如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，且第k项系数最大，应用解出k即可1(2020绵阳高三三模)在二项式n的展开式中，仅第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为()A360B160 C160D360B解析：因为展开式中，仅第4项的二项式系数最大，所以展开式共有7项所以n
17、6.所以展开式的通项公式为Tk1Cx6kk(2)kCx62k.由62k0得k3，即常数项为T4(2)3C160.故选B.2已知(13x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为_C(3x)7和C(3x)8解析：由已知得CCC121，则n(n1)n1121，即n2n2400，解得n15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8C(3x)7和T9C(3x)8.(1)6(1)4的展开式中x的系数是()A4B3C3D4四字程序读想算思展开式中x的系数1.二项展开式的项与系数；2展开式的通项公式两个乘积式各自用展开式的通项公式计算系数转化(1)6(1)4第k
18、1项Tk1CankbkTk1Cankbk1.通项公式法；2组合数生成法思路参考：直接利用两个二项展开式的通项公式乘积获得x的系数B解析：(1)6的展开式的通项公式为C()mC(1)mx，(1)4的展开式的通项公式为C()nCx，其中m0,1,2，6，n0,1,2,3,4.令1，得mn2，于是(1)6(1)4的展开式中x的系数等于C(1)0CC(1)1CC(1)2C3.思路参考：将两个二项式化成一个二项展开式与一个多项式乘积的形式，再利用二项展开式的通项公式B解析：(1)6(1)4(1)(1)4(1)2(1x)4(12x)于是(1)6(1)4的展开式中x的系数为C1C(1)113.思路参考：利用
19、组合的知识求解x的系数B解析：在(1)6(1)4的展开式中要出现x，可以分为以下三种情况：(1)6中选2个()，(1)4中选0个作积，这样得到的x的系数为CC15；(1)6中选1个()，(1)4中选1个作积，这样得到的x的系数为C(1)1C24；(1)6中选0个()，(1)4中选2个作积，这样得到的x的系数为CC6.所以x的系数为152463.故选B.二项式定理是必考内容，主要以通项公式为主，考查系数问题，解法灵活多变，借助二项展开式的通项公式，在每个二项展开式中求出各自的通项公式，最后利用展开式中系数的生成法求出结果解答本题需要一定的运算能力和推理能力，体现了逻辑推理及数学运算的素养在(x22x1)2(x1)5的展开式中，x4的系数为()A6B6C10D4A解析：(x22x1)2(x1)5(x1)4(x1)5(1x)4(1x)5.因为(1x)4的展开式的通项公式为Tr1C14rxrCxr，(1x)5的展开式的通项公式为Tk1C(1)5kxk，则展开式中含x4的项需满足rk4，所以展开式中x4的系数为CC(1)CC(1)2CC(1)3CC(1)4CC(1)5540602016.故选A.