1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3数学归纳法填一填1.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以判断命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法2数学归纳法的框图表示判一判1.与正整数n有关的数学命题只能用数学归纳法证明()2数学归纳法证明的第一步n0的初始值只能是1.()3数学归纳法的两个步骤缺一不可()4用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()5不论是等式还是不等式
2、，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()6使用数学归纳法证明命题时，第一步验证n0(n0N*)有时可以省略()7在数学归纳法证明中，第二步可以直接证明的，不需用归纳假设也可以()8多米诺骨牌游戏中骨牌链能够成功被推倒，使用的是数学归纳法的思想()想一想1.数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值时命题成立相当于多米诺骨牌开始倒的第一张数学归纳法的第二步：假设当nk时命题成立，并证明当nk1时命题也成立相当于多米诺骨牌第k张倒后第k1张是否也会跟着倒2你认为多米诺骨牌游戏中骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么条件？多米诺骨牌所有的骨牌都倒下
3、靠的是两个条件：(1)第一块骨牌被推倒(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础3应用数学归纳法要注意哪些方面？应用数学归纳法要注意以下几点：(1)第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的(2)第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法(3)n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可取其他一些正整数(4)第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作数学归纳法4数学归纳法证题的三个关键点是什么？(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证
4、明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项(3)利用假设是核心在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心不用归纳假设的证明就不是数学归纳法感悟体会练一练1.用数学归纳法证明“2nn21对于n
5、n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3C5 D6解析：当n取1、2、3、4时2nn21不成立，当n5时，253252126，第一个能使2nn21的n值为5.答案：C2用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步nk时等式成立，则当nk1时，应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11解析：将式子12222n12n1中的n用k1代换，得到nk1时，有12222k12k2k11，故选D.答案：D3下列代数式(其中kN)能被9整除的是()A667k B27k1C2
6、(27k1) D3(27k)解析：当k1时，A中代数式的值为48，B中代数式的值为3，C中代数式的值为102，D中代数式的值为27，显然，只有D中代数式能被9整除，故选D.答案：D4用数学归纳法证明“当nN*时，求证：12222325n1是31的倍数”时，当n1时，原式为_，从nk到nk1时需增添的项是_解析：当n1时，原式应加到251124，所以原式为12222324，从nk到nk1时需添25k25k125(k1)1.答案：1222232425k25k125k225k325k4知识点一用数学归纳法证明等式1.若命题A(n)(nN*)在nk(kN*)时命题成立，则有nk1时命题成立，现知命题对
7、nn0(n0N*)时命题成立，则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确解析：由已知可得nn0(n0N*)时命题成立，则有nn01时命题成立，在nn01时命题成立的前提下，可推得n(n01)1时命题也成立以此类推可知命题对大于或等于n0的正整数都成立，但命题对小于n0的正整数成立与否不能确定答案：C2用数学归纳法证明：.证明：(1)当n1时，左边的，右边等式成立(2)假设nk时，等式成立，即成立当nk1时，.所以nk1时，等式成立由(1)、(2)可得对一
8、切nN*，等式成立知识点二用数学归纳法证明不等式3.用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值最小应取()A7 B8C9 D10解析：1，整理得2n128，n7，又nN*，n的初始值最小应取8，故选B.答案：B4求证：(n2，nN*)证明：(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(n2，nN*)时命题成立，即.那么当nk1时，.所以当nk1时，不等式也成立由(1)和(2)可知，原不等式对一切n2，nN*都成立.知识点三用数学归纳法证明整除问题5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳递推应写成()A假设n2k1(kN*)时正确，再推n2k3时正确B假
9、设n2k1(kN*)时正确，再推n2k1时正确C假设nk(kN*)时正确，再推nk1时正确D假设nk(kN*)时正确，再推nk2时正确解析：因为n为正奇数，所以在证明时，归纳递推应写为：假设n2k1(kN*)时命题正确，再推出n2k1时正确，故选B.答案：B6用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1应变形为_解析：当nk1时，34(k1)252(k1)18134k22552k1255634k2.答案：255634k2综合知识归纳猜想证明7.在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A.B.C.
10、D.解析：由a1，Snn(2n1)an，得S22(221)a2，a1a26a2，a2a1，S33(231)a3，a315a3，a3，同理a4，由此猜想an，故选C.答案：C8已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解析：(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，f(3)g(3)(2)由(1)的结果，猜想f(n)g(n)下面用数学归纳法给出证明：当n1,2,3时，不等式显然成立假设nk(k3)时，不等
11、式成立即1，那么，nk1时，f(k1)f(k)因为0，f(k1)g(k1)由可知，对一切nN*都有f(n)g(n)成立基础达标一、选择题1用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A12B12C13D11，第一步应验证n2时的表达式，即12，求证：1.证明：(1)当n3时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk(kN*，k3)时，不等式成立，即1.当nk1时，1.因为，所以1. 所以当nk1时，不等式也成立由(1)，(2)知对一切nN*，n2，不等式恒成立.能力提升15.平面内有n(nN*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成
12、n2n2部分证明：(1)当n1时，n2n22，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立(2)假设当nk(k1，kN*)时命题成立，即k个圆把平面分成k2k2部分则当nk1时，这k1个圆中的k个圆把平面分成k2k2个部分，第k1个圆被前k个圆分成2k条弧，这2k条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k个部分，故k1个圆把平面分成k2k22k(k1)2(k1)2部分，即nk1时命题也成立综上所述，对一切nN*，命题都成立16设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(nN*)(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明解析：(1)当n1时，方程x2a1xa10有一根S11a11，所以(a11)2a1(a11)a10，解得a1，当n2时，方程x2a2xa20有一根为S21a1a21a2，所以2a2a20，解得a2.(2)由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0，当n2时，anSnSn1，代入整理得SnSn12Sn10.解得Sn.由(1)得S1a1，S2a1a2.猜想Sn(nN*)下面用数学归纳法证明这个结论当n1时，结论成立假设nk(kN*)时结论成立，即Sk，当nk1时，Sk1.所以当nk1时，结论也成立由可知，Sn的通项公式为Sn(nN*)- 9 - 版权所有高考资源网