1、1.7.2定积分在物理中的应用填一填1.变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sv(t)dt.温馨提示在求物理运动的路程时要注意：物体运动的路程，只有正值没有负值2变力做功物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s m，则力F所做的功为WFs；如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb，则变力F(x)做的功WF(x)dx.判一判1.在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正()2在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向()3物体在1t3时，运
2、动速度为v(t)t22t，则它在这段时间内行驶的路程为|t22t|dt.()4物体在力F(x)下沿与f(x)相同的方向从x0运动到x8，则该力对物体做的功为f(x)dx.()5速度是路程与时间的函数关系的导数()6已知质点的速度v10t，则从t0到tt0质点所经过的路程是10tdt5t.()想一想1.变速直线运动的路程和位移相同吗？不同路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念：(1)当v(t)0时，求某一时间段内的路程和位移均用v(t)dt求解(2)当v(t)0时，求某一时间段内的位移用v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为v(t)dt.2恒力F沿与F相同的方向移动
3、了s，力F做的功为WFs，那么变力做功问题怎样解决呢？与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从xa到xb(a0，则运动物体的路程为sv(t)dt；若v(t)0，则运动物体的路程为s|v(t)|dtv(t)dt.感悟体会练一练1.一物体在力F(x)4x1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x1处运动到x3处(单位：m)，则力F所做的功是()A8 J B10 JC12 J D14 J解析：W(4x1)dx(2x2x)15114(J)，故选D.答案：D2一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行
4、驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825lnC425ln 5 D450ln 2解析：令73t0，解得t(舍去)或t4.则dt425ln 5，故选C.答案：C3如图所示，将一弹簧(弹力系数为k)从平衡位置拉到离平衡位置1 m处，则克服弹簧力所做的功为_解析：在弹性范围内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(或压缩)的长度成正比，即F(x)kx，其中k为比例系数，故由变力做功公式得Wkxdxkx2k(J)答案：k(J)4一条水管中水流的速度v(单位：m3/s)是时间t(单位：s)的函数，且v2tsint，则前10 s水管中流过的水量为_ m3.解析：流过的
5、水量为(2tsint)dt(t2cost)(100cos10)(0cos 0)101cos10.答案：101cos10知识点一变速直线运动的路程、位移1.物体以速度v(t)3t22t3做直线运动，它在t0到t3这段时间内的位移是()A9 B18C27 D36解析：依题意物体在t0到t3这段时间内的位移s(3t22t3)(t3t23t)333233027，故选C.答案：C2一变速运动物体的速度v(t)则该物体在0te(e为自然对数的底数)这段时间内运动的路程为多少？解析：当0t1时，v(t)2t，v(1)2.又当1t2时，v(t)at，v(1)a2，v(2)a2224.又当2te时，v(t)，v
6、(2)4，b8.路程s2tdt2tdtdt98ln 2.知识点二变力做功3.一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向从x0运动到x4(单位：m)，则力F(x)做的功为()A44 J B46 JC48 J D50 J解析：力F(x)做的功WF(x)dx10dx(3x4)dx10x202646(J)，故选B.答案：B4设某弹簧的弹力F与伸长量x间的关系为F100x，将该弹簧由平衡位置拉长0.1m，则弹力F所做的功为_焦解析：弹力F所做的功为：W1000.10.11(焦)答案：1综合知识定积分在物理中的应用5.如果某物体以初速度v(0)1，加速度a(t)4t做直线运动，则质点在t2
7、s时的瞬时速度为()A5 B7C9 D13解析：v(2)v(0)a(t)dt(4t)dt2t28，v(2)v(0)8189.故选C.答案：C基础达标一、选择题1变速直线运动的物体的速度v(t)5t2，前2 s所走过的路程为()A.B.C. D.解析：设前2 s所走过的路程S(2)，则S(2)v(t)dt(5t2)dt，故选B.答案：B2做直线运动的质点在任意位置处所受的力F(x)1ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x10处运动到点x21处，力F(x)所做的功是()A1e BeC. De1解析：WF(x)dx(1ex)dx(xex)(1e)1e.故选B.答案：B3一物体在力F(x)3x2
8、2x5(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与力F(x)相同的方向由x5 m直线运动到x10 m处做的功是()A925 J B850 JC825 J D800 J解析：依题意，物体所做的功W(3x22x5)dx(x3x25x)950125825，故选C.答案：C4一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35 m/s，则A，B间的距离为()A120 m B437.5 mC360 m D480 m解析：由1.4t35，得t25，从A处到B处的时间为25 s，|AB|1.4tdt0.7t2437.5(m)，故选B.答案：B5如果1 N的力能把弹簧拉长1 cm
9、，为了将弹簧拉长6 cm，所耗费的功为()A0.18 J B0.26 JC0.12 J D0.28 J解析：设F(x)kx，当F1 N时，x0.01 m，k100，将弹簧拉长6 cm，所耗费的功W100xdx50x20.18(J)，故选A.答案：A6一质点在直线上以速度v(m/s)运动，从时刻t0(s)到t3(s)时质点运动的路程为()A2 m B. mC1 m D. m解析：该质点从时刻t0(s)到t3(s)时质点运动的路程：Sdt(2t)dt11.答案：B7一物体沿直线以速度v(t)2t3(t的单位为：s，v的单位为：m/s)做变速直线运动，该物体从时刻t0至时刻t5运动的路程是()A.m
10、 B15mC10m D.m解析：根据题意，当0t时，v(t)2t30；当t5时，v(t)2t30，物体从时刻t0到时刻t5间的运动路程s (32t)dt (2t3)dt(米)，故选A.答案：A二、填空题8把一个带q电量的点电荷放在x轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式Fk(其中k为常数)确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从ra处移动到rb(a0；当t(1,2)时，v(t)0，所以物体所走的路程为(1t2)dt(t21)dt2.答案：212某一物体在某种介质中作直线运动，已知t时刻，它的速度为v，位移为s，且它
11、在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，若已知st2，则该物体由位移s0移动到位移sa时克服阻力所做的功为_(注：变力F做功WF(s)ds，结果用k，a表示)解析：因为在该介质所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，所以Fkv2，又t时刻，它的速度为v，位移为s，且St2，St，即vst.st2v2，v22s，F2ks，由WF(s)ds，得W2ksdsks2ka2.答案：ka2三、解答题13一物体做变速直线运动，其vt曲线如图所示，求该物体在6 s间的运动路程解析：由vt曲线的图象知v(t)所求路程sv(t)dt2tdt2dtdt2t(62)(m)物体在6 s间的
12、运动路程是 m.14.如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B、C运动到D，其中AB50 m，BC40 m，CD30 m，变力F(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30角，在BC段运动时F与运动方向成45，在CD段F与运动方向相同，求物体由A运动到D所作的功解析：在AB段运动时F在运动方向上的分力F1Fcos30，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2Fcos45.由变力做功公式得：Wcos30dxcos45dx6006004506001723(J)所以物体由A运动到D所做的功约为1723 J.能力提升15.证明：把质量为m(单位：kg)的物体从地球的表面升高h(单位：m)所做的功
13、为WG，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，R是地球的半径证明：取地心为原点O建立直角坐标系，y轴向上，如图所示地球对物体的引力为.物体克服地球引力所做的功为：WdyGMmGMmG.16A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24 m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(241.2t) m/s，在B点恰好停车，试求：(1)A，C间的距离(2)B，D间的距离(3)电车从A站到B站所需的时间解析：(1)设A到C经过t1 s，由1.2t124，得t120(s)，AC1.2tdt0.6t2240(m)(2)设从 DB经过t2 s，由241.2t20得t220(s)DB(241.2t)dt(24t0.6t2)240(m)(3)CD720022406720(m)从C到D的时间为t3280(s)从A到B的时间为2028020320(s)