1、1.5.3定积分的概念填一填1.定积分的概念如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和snf(x1)xf(x2)xf(xi)xf(xn)x，当n时，上述和式无限接近某个常数这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxlif(i)，这里，a与b分别叫作积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积
2、分f(x)dx表示由直线xa，xb，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积3定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb).判一判1.f(x)dxf(t)dt.()2.f(x)dx的值一定是一个正数()3.(x22x)dxx2dx2xdx.()4.(ln xx3)dxln xdxx3dx.()5.1(2)dx6.()6若奇函数yf(x)的图象在a，a上连续，则af(x)dx0.()7若偶函数yg(x)的图象在a，a上连续，则ag(x)dx2g(x)dx.()8定积
3、分f(x)dx是一个正常数()想一想1.如何理解定积分的几何意义？(1)定积分f(x)dx是一个常数实数，一般情况下，被积函数yf(x)的图象可以在x轴的上方，也可以在x轴的下方，在积分区间a，b上，只有yf(x)0(图象不在x轴的下方)时，f(x)dx才等于曲边梯形的面积，也就是说，在积分区间a，b上，当yf(x)0(图象在x轴的下方)时，f(x)dxdxC.xdxdx D无法确定解析：在同一坐标系内作出函数yx和函数y的图象如图，由图可知，当x(0,1)时，y的图象位于yx图象的上方，由定积分的几何意义知，xdx0，若(2x2)dx8，则t()A1 B2C2或4 D4解析：作出函数y2x2
4、的图象与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0，2)，SAOB121，(2x2)dx8，且(2x2)dx1，t1.SAEFAFEF(t1)(2t2)(t1)29，解得t4，故选D.答案：D5下列各阴影部分的面积S不可以用Sf(x)g(x)dx表示的是()解析：由定积分的几何意义知，定积分Sf(x)g(x)dx(a0D若f(x)在a，b上连续且f(x)dx0，则f(x)在a，b上恒正解析：对于选项A，因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确；对于选项B，因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方(或上方)且
5、面积相等，故B正确；C显然正确；D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)0的曲线围成的面积比f(x)xdx.答案：11. dx的值为_解析：由于dx表示曲线y(4x0)与x轴、y轴所围成的图形的面积，即以原点为圆心，以4为半径的圆的面积的，所以dx424.答案：412若f(x)dx1，f(x)dx2，则f(x)dx_.解析：f(x)dxf(x)dx1，f(x)dx3f(x)dx2，f(x)dx2，1f(x)dx，f(x)dx1f(x)dxf(x)dx2.答案：三、解答题13利用定积分的几何意义求下列定积分：(1)(2x4)dx；(2) dx.解析：(1)所求定积分是由y2
6、x4，x0，x6，y0所围成的图形面积如图阴影部分，A(0，4)，B(6,8)，M(2,0)，C(6,0)，所以SAOM244，SMBC4816，所以(2x4)dx12.(2)设y，即(x3)2y225(y0)因为dx表示以5为半径的圆的四分之一面积，所以dx.14已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，利用定积分的性质求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x22x3)dx.解析：(1)3x3dx3x3dx3312.(2)6x2dx66126.(3)(3x22x3)dx3x2dx2x3dx32.能力提升15.计算定积分：xdx.解析：xdxdxxdx，令S1dx，S2xdx.S1，S2的几何意义如图1,2所示对S1dx，令y0，则(x1)2y21(0x1，y0)，由定积分几何意义知S1dx12，对于S2xdx，由其几何意义知S211，故xdxS1S2.16如图所示，抛物线yx2将圆面x2y28分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为，试求dx的值解析：解方程组，得x2.所以阴影部分的面积为dx.因为圆的面积为8，所以由几何概型的概率公式，可得阴影部分的面积是82，即dx2.由定积分的几何意义，得dxdx.