1、第三节空间图形的基本关系与公理授课提示：对应学生用书第128页基础梳理1四个公理(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(3)异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或
2、夹角)；范围：3空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1个平行a0个在平面内a无数个平面与平面平行0个相交l无数个1公理的作用公理1：可用来证明点、直线在平面内公理2：可用来确定一个平面公理3：(1)可用来确定两个平面的交线(2)判断或证明多点共线(3)判断或证明多线共点公理4：(1)可用来判断空间两条直线平行(2)等角定理的理论依据2异面直线的两个结论(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面四基自测1(基础点：平面的概念)下列命题中，真命题是()A空间不同三点确定一个平面B空间两两
3、相交的三条直线确定一个平面C两组对边相等的四边形是平行四边形D和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内答案：D2(基础点：空间直线的关系)若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行B一定相交C一定是异面直线 D一定垂直答案：D3(易错点：异面直线所成角的概念)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A30 B45C60 D90答案：C4(拓展点：点、线、面关系的推理)设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_(填序号)Pa，Pa；abP，ba；ab，
4、a，Pb，Pb；b，P，PPb.答案：授课提示：对应学生用书第129页考点一平面的基本性质挖掘1共面问题/ 自主练透例1(1)如图所示是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个是()解析A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面答案D (2)如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线ACB直线ABC直线CD D直线BC解析由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.答案C破题技法1.由元
5、素确定平面时，要看元素满足的条件(1)由点确定平面：三点不共线；(2)由点和线确定平面：点不在直线上；(3)由线确定平面：两条相交线，两条平行线2共面问题的证明证明点或线共面，首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合挖掘2共点、共线问题/ 互动探究例2如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面解析连接A1C1，AC，则A1C1AC，所
6、以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为MA1C，所以M平面ACC1A1，又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线故选A.答案A破题技法1.证明点共线，(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定的直线上2证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点考点二空间直线的位置关系挖掘1异面直线的判定/ 自主练透例1如图所示为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_对解析平面图
7、形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面直线的有3对答案3破题技法异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线挖掘2平行与垂直的判定/ 自主练透例2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，
8、CF2FA，则EF与BD1的位置关系是()A相交但不垂直B相交且垂直C异面 D平行解析连接D1E并延长交AD于M点(图略)，因为A1E2ED，可得，M为AD中点，连接BF并延长交AD于N点，因为CF2FA，可得N为AD中点，所以M，N重合且，.所以，所以EFBD1.答案D破题技法1.线线平行或垂直的判定方法(1)对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理来判断(2)对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直2注意几个“唯一”结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面
9、外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直考点三异面直线所成的角挖掘1异面直线所成角的求法/ 自主练透例1(1)(2020广东珠海模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB4，AD2，P为边AB的中点，现将DAP绕直线DP翻转至DAP处，若M为线段AC的中点，则异面直线BM与PA所成角的正切值为()A.B2C. D4解析取AD的中点N，连接PN，MN，M是AC的中点，MNCD，且MNCD，四边形ABCD是矩形，P是AB的中点，PBCD，且PBCD，MNPB，且MNPB，四边形PBMN为平行四边形，MBPN，APN(或其补角)是异面直线BM与PA所成的角在R
10、tAPN中，tanAPN，异面直线BM与PA所成角的正切值为.故选A.答案A(2)如图所示，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_解析如图所示，连接ND，取ND的中点E，连接ME，CE，则MEAN，则异面直线AN，CM所成的角即为EMC.由题可知CN1，AN2，ME.又CM2，DN2，NE，CE，则cos CME.答案破题技法求异面直线所成角的方法方法解读适合题型平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解易于作出平行线的题目补形法在该几何体的某侧补接
11、上同样一个几何体，在这两个几何体找异面直线相应的位置，形成三角形求解平行线不易作出的规则几何体挖掘2异面直线所成角的应用三种语言转化/ 互动探究例2如图，平面l，AD且ADl，BC且BCl，A、Bl.AD与BC是异面直线，且所成的角为，ADb，BCc，ABa，求DC的长度解析在平面内，过B作BE綊AD，由异面直线所成角的定义知CBE，四边形ADEB为矩形，DEa，在BEC中，CE2b2c22bccos ，由于ABBC，ABAD，ABCE，即有DECE.在RtDEC中，DC2a2CE2a2b2c22bccos ，DC.破题技法将空间几何中的三种语言要灵活转化，同时，将位置关系转化到平面中：(1)平面BCE中，(2)平面CED中，利用解三角形求其边长