1、高三理科数学模拟（3） 2015.51设集合=,则集合的子集的个数为（ ）. . . .2.不等式的解集为（ ）. . . .3若抛物线的焦点坐标为，则的值为（ ）. . . .4“”是“函数的最小正周期为”的（ ）充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件主视图左视图5如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，俯视图那么这个几何体的体积为 ( )开始结束是否. . . .6程序框图的运算结果为 ( ). . . .7.椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则值为（） 8.已知满足则 的最大值为( ).
2、 . . .9复数（为虚数单位）的虚部等于_.10二项式的展开式的常数项是_.（用数字作答）11. 已知变量满足约束条件, 则的最大值是_.12已知为互相垂直的单位向量，, ,且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 13. 数列是正项等差数列，若，则数列为等差数列. 类比上述结论，已知数列是正项等比数列，若= ，则数列也为等比数列.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分14（极坐标与参数方程）若圆的方程为：（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的圆心极坐标为_ (极角范围为) 15（几何证明选讲）如右图，是圆外一点，过引圆的两
3、条割线、，=，=，则=_三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（ 12分）已知函数（1）求的值；（2）若，且，求.17（ 12分）在一个盒子中，放有标号分别为，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记1）求随机变量的最大值，求事件“取得最大值”的概率；2）求随机变量的分布列和数学期望18（ 14分）如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为1）求此正三棱柱的侧棱长；2）求二面角的余弦值大小.19（ 分）设等比数列的前项和为，已知()（1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个
4、公差为的等差数列求证：().20(14分)平面直角坐标系中，直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为1）求圆的方程； 2）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于、，当长最小时，求直线 的方程； 3）设、是圆上任意两点，点关于轴的对称点为，若直线、分别交于轴于点（）和（），问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21.（分）已知函数 1）求函数的单调区间； 2）如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合；3）是否存在正数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；如果不存在，说明理由.数学 (理科）参考答案与评分标准一选择题：DBBA DBBA 9 10 11 12
5、13. .16. 解：(1) 2分2) 12分17解：（1）、可能的取值为、， ，且当或时，3分因此，随机变量的最大值为有放回抽两张卡片的所有情况有种， 答：随机变量的最大值为，事件“取得最大值”的概率为4分2）的所有取值为 时，只有这一种情况， 5分时，有或或或四种情况，6分时，有或两种情况7分，10分 则随机变量的分布列为： 11分 因此，数学期望12分18解：（1）设正三棱柱的侧棱长为取中点，连是正三角形，1分 又底面侧面，且交线为侧面连，则直线与侧面所成的角4分在中，解得5分此正三棱柱的侧棱长为6分2）解：过作于，连，侧面为二面角的平面角 9分在中，又， 又11分中，故二面角的余弦值得
6、大小为14分19解：1）设等比数列的首项为，公比为，1分 ，（）=即()3分当,得，即，解得：4分5分 即.6分（2），则，8分9分设 则10分-得：2+=+=12分13分14分20解：（1）因为点到直线的距离为，1分 所以圆的半径为，故圆的方程为.2分2）设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，即，4分，当且仅当时取等号，此时直线的方程为6分3)设，则，直线与轴交点，直线与轴交点，10分13分 故为定值214分21解：1）函数的定义域是对求导得2分由 ，由因此 是函数的增区间；（1，0）和（0，3）是函数的减区间5分2）因为所以实数m的取值范围就是函数的值域 6分 对令当x=2时取得最大值，且又当x无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，进而有无限趋近于.因此函数的值域是 ,即实数m的取值范围是 9分3）结论：这样的正数k不存在。10分下面采用反证法来证明：假设存在正数k，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则11分根据对数函数定义域知都是正数。又由（1）可知，当时，=，=，再由k0，可得由于 不妨设 ，由和可得 利用比例性质得 即13分由于上的恒正增函数，且 又上的恒正减函数，且，这与（*）式矛盾。因此满足条件的正数k不存在14分