1、期末学业水平检测江苏省南京市20202021学年高一(上)期末一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若角的终边经过点P(3,a)(a0),则()A.sin 0B.sin 0D.cos 0,函数y=2+3x+4x+1的最小值为()A.431B.43+2C.42+1D.64.已知a,b,m都是负数,且ab,则()A.1a1bB.abb+mD.b+ma+mba5.有一组实验数据如表所示:t1.93.04.05.16.1v1.54.07.512.018.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是()
2、A.v=2t-2B.v=t2-12C.v=log0.5tD.v=log3t6.若函数f(x)=sin 2x与g(x)=2cos x都在区间(a,b)上单调递减,则b-a的最大值是()A.4B.3C.2D.237.函数f(x)=sinx+xcosx+x2在-,上的图象大致为()ABCD8.若函数f(x)同时满足:定义域内存在实数x,使得f(x)f(-x)0,则称函数f(x)为“DM函数”.下列函数中是“DM函数”的为()A.f(x)=x3B.f(x)=sin xC.f(x)=ex-1D.f(x)=ln x二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求
3、.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.关于函数f(x)=tan 2x,下列说法中正确的是()A.最小正周期是2B.图象关于点2,0对称C.图象关于直线x=4对称D.在区间-2,2上单调递增10.已知曲线C1:y=sin x,C2:y=sin2x+3,下列说法中正确的是()A.把C1向左平移3个单位长度,再将所有点的横坐标变为原来的2倍,得到C2B.把C1向左平移3个单位长度,再将所有点的横坐标变为原来的12倍,得到C2C.把C1上所有点的横坐标变为原来的12倍,再向左平移3个单位长度,得到C2D.把C1上所有点的横坐标变为原来的12倍,再向左平移6个单位长度,得到C211.
4、我们知道,如果集合AS,那么S的子集A的补集为SA=x|xS,且xA.类似地,对于集合A,B,我们把集合x|xA,且xB叫作集合A与B的差集,记作A-B.据此,下列说法中正确的是()A.若AB,则A-B=B.若BA,则A-B=AC.若AB=,则A-B=AD.若AB=C,则A-B=A-C12.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设xR,用x表示不超过x的最大整数,y=x被称为“高斯函数”.例如:-3.5=-4,2.1=2.已知函数f(x)=x+1-x,下列说法中正确的是()A.f(x)是周期函数B.f(x)的值域是(0,1C.f(x)在(0,1)上是增函数D.xR
5、,f(x)=0三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.幂函数y=x的图象过点(2,2),则=.14.已知函数f(x)=2x+1,x1,x2+ax,x1,若f(f(0)=3a,则a的值为.15.已知sin+6=13,则sin56-+sin23-的值为.16.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的,一般采用里氏震级标准.震级(M)是用距离震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的.里氏震级的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).根据该公式可知
6、,7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的倍(精确到1).四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A=x|2x+1x-11,B=x|2x2+(m-2)x-m0.(1)当m=1时,求AB;(2)已知“xA”是“xB”的必要条件,求实数m的取值范围.18.(12分)已知sin(+)cos(-)=18,且04.(1)求cos +cos2+的值;(2)求tan 的值.19.(12分)(1)计算:2log25+(0.125)-23+log 39;(2)已知a=log0.43,b=log43,求证:aba+b0,0,t0,+).在一次振动中,
7、小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,且最高点与最低点间的距离为10 cm.(1)求小球相对于平衡位置的高度h(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系;(2)小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50,求t0的取值范围.22.(12分)对于定义在D上的函数f(x),如果存在实数x0,使得f(x0)=x0,那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)=ax2+1.(1)当a=-2时,求f(x)的不动点;(2)若函数f(x)有两个不动点x1,x2,且x120.故选C.2.B由4-x20得-2x2.由x-10得x1.故AB=x|-2x2x|x1=x|10,所以x+10.所以y=2+3
8、x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-123(x+1)4x+1-1=43-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=233-1时,等号成立.所以函数y=2+3x+4x+1的最小值为43-1.故选A.4.D因为ab1b,故选项A错误;因为ab1,0ba1,所以baab,故选项B错误;由不等式的可加性可知a+m0,所以b+ma+mba,故选项D正确.故选D.5.B作出散点图如图所示:由图知,函数为单调递增函数,且增加速度越来越快.故选B.6.C易知函数f(x)=sin 2x在4,34上单调递减,函数g(x)=2cos x在(0,)上单调递减,所以bmax=34,am
9、in=4,所以b-a的最大值为34-4=2.故选C.7.D因为-,关于原点对称,f(-x)=sin(-x)+(-x)cos(-x)+(-x)2=-sinx-xcosx+x2=-f(x),所以f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故排除A.f2=1+222=4+221,f()=-1+20,故排除B,C.故选D.8.A由定义域内存在实数x,使得f(x)f(-x)0,得函数为单调递增函数,故排除B.故选A.9.ABf(x)=tan 2x的最小正周期T=2,故选项A正确;当x=2时,tan22=0,故选项B正确;函数f(x)=tan 2x的图象不存在对称轴,故选项C错误;当x-2,2时,2x(-,),
10、(-,)不是函数y=tan x的单调递增区间,故选项D错误.故选AB.10.BD变换方式一:把函数y=sin x的图象向左平移3个单位长度,得到y=sinx+3的图象,再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到y=sin2x+3的图象.变换方式二:把函数y=sin x图象上所有点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到y=sin 2x的图象,再将图象上所有点向左平移6个单位长度,得到y=sin2x+6=sin2x+3的图象.故选BD.11.ACD对于选项A,若AB,则A中的元素均在B中,所以A-B=,故选项A正确;对于选项B,若BA,则B中的元素均在A中,所以A-B=ABA,
11、故选项B错误;对于选项C,若AB=,则A,B无公共元素,所以A-B=A,故选项C正确;对于选项D,若AB=C,则A-B=AC=A-C,故选项D正确.故选ACD.12.AB由题意得x+1=-1,-2x-1,0,-1x0,1,0x1,2,1x2,所以f(x)=x+1-x=-1-x,-2x-1,-x,-1x0,1-x,0x1,2-x,1x2,函数f(x)的部分图象如图所示.由图可知,函数f(x)是周期为1的周期函数,值域为(0,1,在0,1)上单调递减,故A,B正确,C错误;对于选项D,当x=-1时,f(-1)=1,则f(-1)=1,故D错误.故选AB.13.答案12解析因为幂函数y=x的图象过点(
12、2,2),所以2=2,解得=12.14.答案4解析由题意可知f(0)=20+1=2,f(2)=22+2a=3a,解得a=4.15.答案119解析因为+6+56-=,+6+3-=2,所以sin56-=sin-+6=sin+6=13,cos3-=cos2-+6=sin+6=13,所以sin56-+sin23-=13+1-cos23-=43-132=119.16.答案32解析由题意可得M=lg A-lg A0=lgAA0,即AA0=10M,所以A=A010M.当M=7.5时,地震的最大振幅A1=A0107.5;当M=6时,地震的最大振幅A2=A0106.A1A2=107.5106=107.5-6=1
13、01.5=1032=10332.17.解析(1)由2x+1x-11,得x+2x-10,解得-2x1,所以A=x|-2x1.(2分)当m=1时,B=x|2x2-x-10=x|-12x1.(4分)所以AB=x|-2x1.(5分)(2)B=x|2x2+(m-2)x-m0=x|(x-1)(2x+m)1时,B=x1x-m2,不符合题意;(7分)当-m2=1,即m=-2时,B=,符合题意;(8分)当-m21时,B=x|-m2x1,需满足-2-m21,解得-2m4.(9分)综上,m-2,4.(10分)18.解析(1)sin(+)cos(-)=sin cos =18.cos +cos2+=cos -sin .
14、(2分)易知(cos -sin )2=cos2-2sin cos +sin2=1-2sin cos =1-218=34.(3分)因为0sin ,即cos -sin 0,所以cos -sin =32.(5分)所以cos +cos2+=32.(6分)(2)由(1)知sin cos =18,又sin2+cos2=1,所以sincossin2+cos2=18.(8分)因为04,cos 0,所以tantan2+1=18,即tan2-8tan +1=0,解得tan =4-15或tan =4+15.(10分)因为04,所以0tan 1,所以tan =4-15.(12分)19.解析(1)原式=5+(2-3)-
15、23+log 3(3)4=5+4+4=13.(4分)(2)证明:因为y=log0.4x在(0,+)上单调递减,y=log4x在(0,+)上单调递增,所以a=log0.43log41=0,(6分)所以ab0.(8分)因为1a+1b=log30.4+log34=log3(0.44)=log31.6,且y=log3x在(0,+)上单调递增,所以0=log31log31.6log33=1,即01a+1bab1a+1bab,即aba+b0.(12分)20.解析(1)因为函数f(x)=x|x-a|为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x)对任意xR恒成立,即(-x)|-x-a|=-x|x-a|对任意xR恒
16、成立,(2分)所以|-x-a|=|x-a|,所以a=0.(4分)(2)由f(sin2x)+f(t-2cos x)0得f(sin2x)-f(t-2cos x).因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(sin2x)f(2cos x-t).(6分)由(1)得f(x)=x|x|=x2,x0,-x2,x0,易知其是R上的单调增函数,故sin2x2cos x-t对任意x3,76恒成立.所以t2cos x-sin2x对任意x3,76恒成立.(8分)y=2cos x-sin2x=cos2x+2cos x-1=(cos x+1)2-2,令m=cos x,由x3,76,得cos x-1,12,即m-1,12,所以
17、当m=12时,y=(m+1)2-2取得最大值,为14.(10分)所以t14,所以t的最小值为14.(12分)21.解析(1)因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm,所以A=102=5.(2分)因为在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,所以最小正周期T=2=2,所以=.(4分)所以h=5sint+4,t0.(6分)(2)由(1)知,当t=14时,小球第一次到达最高点,且以后每隔一个周期到达一次最高点.(8分)因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50,所以14+49Tt014+50T.(10分)因为T=2,所以9814t010014,所以t0的取值范围为9814,
18、10014.(12分)22.解析(1)当a=-2时,f(x)=-2x2+1.(1分)令f(x)=x,得2x2+x-1=0,解得x=-1或x=12.所以f(x)的不动点为-1和12.(3分)(2)因为函数f(x)有两个不动点x1,x2,所以方程f(x)=x,即ax2-x+1=0的两个实数根为x1,x2.记p(x)=ax2-x+1,则p(x)的零点为x1和x2.(5分)因为x12x2,所以ap(2)0,即a(4a-1)0,解得0a0.记p(x)=ax2-x+1.由可知p(x)=0有两个不相等的实数根,分别为x1,x2,且x10,12a1,p1a=10,所以1x112ax20,所以x=1是方程g(x)=x的实数根,所以1是g(x)的一个不动点.(9分)h(x2)=ax2-(ax22-x2+1)=ax20,因为0a4,h1a=a1a-1a4-1p(x2)=0,所以x0是g(x)的一个不动点.(11分)综上,g(x)在(a,+)上至少有两个不动点.(12分)
