1、8.1.2用二分法求方程的近似解学 习 任 务核 心 素 养1通过实例理解二分法的概念(难点)2了解二分法是求方程近似解的常用方法3能够借助计算器用二分法求方程的近似解(重点)借助二分法的操作步骤与思想，培养逻辑推理数学建模、数学抽象的数学核心素养.通过上一节的学习，利用函数的零点存在定理可以确定函数的零点所在的区间，请利用计算器尝试探求函数f(x)ln x2x6零点的近似值(精确到0.1)知识点1二分法的定义对于在区间a，b上的图象连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，即f(x)0的近
2、似解的方法叫做二分法1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是() A B C D答案A知识点2用二分法求一元方程f(x)0近似解的步骤(1)确定区间：一元方程f(x)0的根所在的区间a，b，使f(a)f(b)0.(2)求区间(a，b)的中点：x1.(3)计算f(x1)若f(x1)0，则x1就是一元方程f(x)0的近似解；若f(a)f(x1)0，则令bx1，此时零点x0(a，x1)；若f(x1)f(b)0，则令ax1，此时零点x0(x1，b)(4)判断是否达到题目要求，即若达到，则得到一元方程f(x)0近似解，否则重复步骤(2)(4)用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求
3、函数的零点近似值如求f(x)g(x)的近似解时可构造函数h(x)f(x)g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解()(2)函数f(x)|x|可以用二分法求零点()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内()(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将yf(x)在a，b内的所有零点得到()提示四句话都是错的(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f(x)x1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x1，而f(1)0.(2)中， f(x)|x|0，不能用二分法(3)中，二分法求零点时，零
4、点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧(4)中f(x)在a，b内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解答案(1)(2)(3)(4) 类型1“二分法”的概念【例1】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近以值的是()ABC DD根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间a，b上的图象连续不断，且f(a)f(b)0，即函数的零点是变号零点，才能将区间a，b一分为二，逐步得到零点的近似值对各图象分析可知，选项A、B、C都符合条
5、件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值故选D.判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用跟进训练1已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4B3,4C5,4 D4,3D图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.2关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是()A“二分法”求方程的近似解一定可将yf(x)在a，
6、b内的所有零点得到B“二分法”求方程的近似解有可能得不到yf(x)在a，b内的零点C应用“二分法”求方程的近似解，yf(x)在a，b内有可能无零点D“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)0在a，b内的精确解D如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，A错误；二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，B错误；C只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，C错误；“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，D正确 类型2用“二分法”求方程的近似解【例2】用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1)解令f(x
7、)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x33x30在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)f (0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0(0.687 5,0.75)|0.687 50.75|
8、0.062 50.1由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解1(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？解在本例的基础上，取区间(0.687 5,0.75)的中点x0.718 75，因为f(0.718 75)0且|0.718 750.75|0.031 250.05，所以x0.72可作为方程的一个近似解2(变条件)若本例中的方程“2x33x30”换为“x22x1”其结论又如何呢？解设f(x)x22x1.f(2)10.在区间(2,3)内，方程x22x10有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，f(2.5)0.250，
9、2x02.5；再取2与2.5的平均数2.25，f(2.25)0.437 50，2.25x02.5；如此继续下去，有f(2.375)0x0(2.375,2.5)；f(2.375)0x0(2.375,2.437 5)|2.3752.437 5|0.062 50.1，方程x22x1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，求方程f(x)0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解(2)对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)f(x)g(x)
10、0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解跟进训练3求的近似值(精确到0.1)解是x32的根，因此可构造f(x)x32，问题转化为“求f(x)的零点的近似解”用二分法求其零点由f(1)10.故可取区间1,2为计算的初始区间用二分法逐次计算，如下：f(1)0x1(1,1.5)，f(1.25)0x1(1.25,1.5)，f(1.25)0x1(1.25,1.375)，f(1.25)0x1(1.25,1.312 5)，至此可见，区间1.25,1.312 5上所有值精确到0.1均为1.3，所以1.3是精确到0.1的近似值1用“二分法”可求一元方程的近似解，对于精确到的说法正确的是()A
11、越大，近似解的精确度越高B越大，近似解的精确度越低C重复计算次数就是D重复计算次数与无关B依“二分法”的具体步骤可知，越大，近似解的精确度越低2在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是2,4，则第三次所取的区间可能是()A1,4B2,1C2,2.5 D0.5,1D因第一次所取的区间是2,4，所以第二次所取的区间可能是2,1，1,4；第三次所取的区间可能为2，0.5，0.5,1，1,2.5，2.5,4，只有D在其中，故答案为D.3已知函数yf(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是_x3因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解4用二分法求函数yf(x)在区间(2
12、,4)上的近似解，验证f(2)f(4)0，精确到0.1，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_.(填区间)(2,3)由f(2)f(3)0可知，x0(2,3)5如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测_次6第1次取中点把焊点数减半为32，第2次取中点把焊点数减半为16，第3次取中点把焊点数减半为8，第4次取中点把焊点数减半为4，第5次取中点把焊点数减半为2，第6次取中点把焊点数减半为1，所以至多需要检测的次数是6.回顾本节知识，自我完成以下问题1用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？提示(1)f(x)在区间(a，b)上的图象连续不断(2)在区间(a，b)端点的函数值f(a)f(b)0.2使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？提示零点存在定理