1、空间向量运算的坐标表示（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013大理高二检测)在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)与点B(2,1,-1)之间的距离是()A.B.6C.D.22.已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,则与的值分别可以为()A.2,B.-,C.-3,2D.2,23.(2013金华高二检测)向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是()A.ab,abB.ab,acC.ac,abD.以上都不对4.设=(cos+sin,0,-sin),=(0,cos,0)则|的最大值为()A.3B.C.2D.
2、35.(2013大连高二检测)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互 相垂直,则k的值是()A.1B.C.D.二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013石家庄高二检测)已知O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,-1,1),+与的夹角为120,则的值为.7.(2013杭州高二检测)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则 与的夹角为.8.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知关于x的方程x2-(t-2)x+t2
3、+3t+5=0有两个实根,a=(-1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+tb.(1)当|c|取最小值时,求t的值.(2)在(1)的情况下,求b和c夹角的余弦值.10.(2013衡水高二检测)如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA平面ABCD,E,F分别是AB,PC的中点.(1)求证:EFCD.(2)若PDA=45,求EF与AP夹角的大小.11.(能力挑战题)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱.(1)求证:BD平面ACC1A1.(2)若二面角C1-BD-C的大小为60,求异面直线BC1与AC所成角的余弦值.答案解析1.【解析】选A.dAB=|=.2.【解析】选A.ab,存
4、在k,使得a=kb,即(+1,0,2)=k(6,2-1,2),即解得或【变式备选】已知三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一条直线上,那么()A.a=3,b=-3B.a=6,b=-1C.a=3,b=2D.a=-2,b=1【解析】选C.根据题意=(1,-1,3),=(a-1,-2,b+4),与共线,存在,使=,即(a-1,-2,b+4)=(,-,3),解得3.【解析】选C.ab=0,ab,又a=c,ac,故选C.4.【解题指南】求出|的表达式,利用三角函数的有界性求其最大值.【解析】选B.由题意知=+=(cos+sin,cos,-sin),|=,sin2-1,1,|
5、max=.5.【解析】选C.ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).(ka+b)(2a-b),(ka-b)(2a-b)=3(k-1)+2k-4=0,解得k=.6.【解析】+=(1,0,0)+(0,-,)=(1,-,),=(0,-1,1).据题意可得=-,解得=-(=舍去).答案:-7.【解析】易知=(-2,-1,3),=(1,-3,2),cos=,又0,故=.答案:8.【解析】a与b的夹角为钝角,ab0,3(-1)+(-2)(x-1)+(-3)1-2.若a与b的夹角为,则x=,x(-2,)(,+)答案:(-2,)(,+)【误区警示】解答本题时不要忽视把a与b的夹角为180时的
6、情况剔除.9.【解析】(1)因为关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根,所以=-(t-2)2-4(t2+3t+5)0,即-4t-.又c=(-1,1,3)+t(1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t),所以|c|=.因为t-4,-时,上述关于t的函数单调递减,所以当t=-时,|c|取最小值.(2)当t=-时,c=(-,1,),所以cos=-=-.【拓展提升】求向量模的最值在向量的坐标运算中常出现求某向量模的最值的问题,解决这类问题首先要根据向量的坐标运算求出待求模的向量的坐标,往往坐标内含有参数,再根据题目条件求出参数的取值范围(本题中用0求参数范围),最后写出模的表达式
7、,利用函数的性质求模的最值.10.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2a,BC=2b,PA=2c,则:A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c).E为AB的中点,F为PC的中点,E(a,0,0),F(a,b,c).(1)=(-2a,0,0),=(0,b,c),=(-2a,0,0)(0,b,c)=0,即EFCD.(2)若PDA=45,则有2b=2c,即b=c,=(0,b,b),=(0,0,2b),cos=,=45,即EF与AP的夹角为45.11.【解析】建立空间直角坐标系如图所示:(1)设AD=a,DD1=b,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C1(0,a,b).=(-a,-a,0),=(-a,a,0),=(0,0,b),=0,=0,BDAC,BDCC1,AC,CC1平面ACC1A1,且ACCC1=C,BD平面ACC1A1.(2)设BD与AC相交于O点,则点O坐标为(,0),=(-,b),连接OC1,=0,=0,BDC1O,又BDCO,C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,C1OC=60.tanC1OC=,b=a.=(-a,a,0),=(-a,0,b),cos=,异面直线BC1与AC所成角的余弦值是.