1、廷锴纪念中学高二第二学期理科数学测试题（1）班别： 姓名： 座号： 成绩：1若实数a，b满足ba0，且ab1，则下列四个数最大的是()Aa2b2B2ab C. Da2把3、6、10、15、21、这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是()A27 B28C29 D303某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”.结论显然是错误的，这是因为( )(A)大前提错误 (B)小前提错误 (C)推理形式错误 (D)非以上错误 4下面使用类比推理正确的是()A“若a3b3，则ab”类比推出“若a0b0，则ab”
2、B“(ab)cacbc”类比推出“(ab)cacbc”C“(ab)cacbc”类比推出“(c0)”D“(ab)nanbn”类比推出“(ab)nanbn”5已知函数f(x)2x24的图象上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则等于()A4 B4x C42x D42(x)26用数学归纳法证明11)，由nk (k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数为()A2k1 B2k1C2k1 D2k7由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是()A平行四边形的对角线相等 B正方形的对角线相等C正方形是平行四边形D以上都不是8把数列依
3、次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，循环，分别为：，则第104个括号内各数之和为（）题号12345678答案10从112 ， 23432 ，3456752中，可得到一般规律为_11. 将“函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间上至少存在一个实数c，使f(c)0”反设，所得命题为“_12若数列an是等差数列，则有数列bn也是等差数列类比上述性质，相应地，若数列cn为等比数列，且cn0(nN*)，则dn_时，dn也是等比数列13.一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的的
4、个数是 14对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)(c，d)当且仅当ac，bd；运算“”为：(a，b)(c，d)(acbd，bcad)；运算“”为：(a，b)(c，d)(ac，bd)设p，qR，若(1,2)(p，q)(5,0)，则(1,2)(p，q)等于 15.已知0a1，求证：9.16.设数列的前项和为，满足，且（1）求的值； （2）求数列的通项公式15.证法1(分析法)要证9，0a0，只需证1a4a9a(1a)，即证13a9a(1a)，即证9a26a10，即证(3a1)20，上式显然成立原命题成立证法2(综合法) (3a1)20，即9a26a10，13a9a(1a)0
5、a1，9，即9，即9.证法3(反证法)假设9，即90，即0，即0，即0，而0a0，(3a1)20，b0，mlg，nlg，则m，n的大小关系是_解析ab00ab2ab()2()2lglg.答案mn10从112,23432,3456752中，可得到一般规律为_解析等式左边从n项起共有(2n1)项相加，右边为(2n1)2，n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)216对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_”答案如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或
6、互补三、解答题(本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知0a1，求证：9.证法1(分析法)要证9，0a0，只需证1a4a9a(1a)，即证13a9a(1a)，即证9a26a10，即证(3a1)20，上式显然成立原命题成立证法2(综合法) (3a1)20，即9a26a10，13a9a(1a)0a1，9，即9，即9.证法3(反证法)假设9，即90，即0，即0，即0，而0a0，(3a1)20，与(3a1)20相矛盾，原命题成立18(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处(1) 求证：四边形的内角和等于360.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四
7、个角都是直角，有ABCD90909090360，所以四边形的内角和为360.(2) 已知和都是无理数，试证：也是无理数证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以必是无理数(3) 已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，用反证法证明：关于x的方程x22x5m20无实数证明：假设方程x22x5m20有实根由已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，解得2m，而关于x的方程x22x5m20的判别式4(m24)，2m，m24，0，则a2.证明a0，要证 a2，只需证 2a，只需证( 2)2(a)2，即证a244 a242(a)，即证 (a)，即证a2(a22)，即证a22，即证(a
8、)20，该不等式显然成立 a2.21(12分)如右图，DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分别为AE，AB的中点(1)证明：PQ平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值解(1)证明：P，Q分别为AE，AB的中点，PQEB，又DCEB.PQDC，而PQ平面ACD，DC平面ACD，PQ平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，Q为AB的中点，且ACBC，CQAB.DC平面ABC，EBDC，EB平面ABC.CQEB，故CQ平面ABE.由(1)知，PQDC，又PQEBDC，四边形CQPD为平行四边形DP平面ABE.故DAP为AD与平面ABE所成角在RtDAP中，
9、AD，DP1，sinDAP.因此AD与平面ABE所成角的正弦值为.22(12分)已知f(x)(x，a0)，且f(1)log162，f(2)1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)已知数列xn的项满足xn(1f(1)(1f(2)(1f(n)，试求x1，x2，x3，x4；(3)猜想xn的通项公式，并用数学归纳法证明解(1) 把f(1)log162，f(2)1，代入函数表达式得即解得(舍去aa0，且ab1，则下列四个数最大的是()Aa2b2B2abC. Da答案A2下面用“三段论”形式写出的演练推理：因为指数函数yax(a0，且a1)在(0，)上是增函数，y()x是指数函数，所以y()x在(0，)上
10、是增函数该结论显然是错误的，其原因是()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D以上都可能解析大前提是：指数函数yax(a0，且a1)在(0，)上是增函数，这是错误的答案A3已知c1，a，b，则正确的结论是()Aab Ba，ab.答案B4下面使用类比推理正确的是()A“若a3b3，则ab”类比推出“若a0b0，则ab”B“(ab)cacbc”类比推出“(ab)cacbc”C“(ab)cacbc”类比推出“(c0)”D“(ab)nanbn”类比推出“(ab)nanbn”解析由类比出的结果应正确知选C.答案C5函数yax21的图像与直线yx相切，则a()A. B.C. D1解析yax21，y2
11、ax，设切点为(x0，y0)，则a.答案B6已知f(x)sin(x1)cos(x1)，则f(1)f(2)f(3)f(2011)()A2 B.C D0解析f(x)2sin(x1)cos(x1)2sinx，周期T6，且f(1)f(2)f(6)2(00)0，f(2011)f(63351)f(1)2sin.答案B7用数学归纳法证明11)，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数为()A2k1 B2k1C2k1 D2k解析当nk1时，左边1，所以增加的项数为(2k11)2k12k12k2k.答案D8若数列an是等比数列，则数列anan1()A一定是等比数列B一定是等差数列C可能是等比数列
12、也可能是等差数列D一定不是等比数列解析设等比数列an的公比为q，则anan1an(1q)当q1时，anan1一定是等比数列；当q1时，anan10，此时为等差数列答案C9已知数列an，bn的通项公式分别为：anan2，bnbn1(a，b是常数，且ab)，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是()A0个 B1个C2个 D无穷多个解析假设存在相同的项是第n项，即an2bn1，(ab)n1(ab，nN*)，矛盾答案A10由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是()A平行四边形的对角线相等B正方形的对角线相等C正方形是平行四边形D
13、以上都不是解析大前提，小前提，结论.答案B11观察下表： 1 2 3 4第一行 2 3 4 5第二行 3 4 5 6第三行 4 5 6 7第四行 第一列 第二列 第三列 第四列根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为()A2n1B2n1Cn21 Dn2解析观察数表可知，第n行第n列交叉点上的数依次为1,3,5,7，2n1.答案A12对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)(c，d)当且仅当ac，bd；运算“”为：(a，b)(c，d)(acbd，bcad)；运算“”为：(a，b)(c，d)(ac，bd)设p，qR，若(1,2)(p，q)(5,0)，则(1,2)(p，
14、q)等于()A(4,0) B(2,0)C(0,2) D(0，4)解析由(1,2)(p，q)(5,0)，得所以(1,2)(p，q)(1,2)(1，2)(2,0)答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知a0，b0，mlg，nlg，则m，n的大小关系是_解析ab00ab2ab()2()2lglg.答案mn14从112,23432,3456752中，可得到一般规律为_解析等式左边从n项起共有(2n1)项相加，右边为(2n1)2，n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)215若数列an是等差数列，则有数列bn也是等
15、差数列类比上述性质，相应地，若数列cn为等比数列，且cn0(nN*)，则dn_时，dn也是等比数列答案16对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_”答案如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补三、解答题(本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知0a1，求证：9.证法1(分析法)要证9，0a0，只需证1a4a9a(1a)，即证13a9a(1a)，即证9a26a10，即证(3a1)20，上式显然成立原命题成立证法2(综合法) (3a1)20，即9
16、a26a10，13a9a(1a)0a1，9，即9，即9.证法3(反证法)假设9，即90，即0，即0，即0，而0a0，(3a1)20，与(3a1)20相矛盾，原命题成立18(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处(1) 求证：四边形的内角和等于360.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有ABCD90909090360，所以四边形的内角和为360.(2) 已知和都是无理数，试证：也是无理数证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以必是无理数(3) 已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，用反证法证明：关于x的方程x22x5m20无实数证明：假设方程x
17、22x5m20有实根由已知实数m满足不等式(2m1)(m2)0，解得2m，而关于x的方程x22x5m20的判别式4(m24)，2m，m24，0，则 a2.证明a0，要证 a2，只需证 2a，只需证( 2)2(a)2，即证a244 a242(a)，即证 (a)，即证a2(a22)，即证a22，即证(a)20，该不等式显然成立 a2.21(12分)如右图，DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分别为AE，AB的中点(1)证明：PQ平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值解(1)证明：P，Q分别为AE，AB的中点，PQEB，又DCEB.PQDC，而PQ平面AC
18、D，DC平面ACD，PQ平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，Q为AB的中点，且ACBC，CQAB.DC平面ABC，EBDC，EB平面ABC.CQEB，故CQ平面ABE.由(1)知，PQDC，又PQEBDC，四边形CQPD为平行四边形DP平面ABE.故DAP为AD与平面ABE所成角在RtDAP中，AD，DP1，sinDAP.因此AD与平面ABE所成角的正弦值为.22(12分)已知f(x)(x，a0)，且f(1)log162，f(2)1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)已知数列xn的项满足xn(1f(1)(1f(2)(1f(n)，试求x1，x2，x3，x4；(3)猜想xn的通项公式，并用数学归纳法证明解(1) 把f (1)log162，f(2)1，代入函数表达式得即解得(舍去a0)，f(x)(x1)(2) x11f(1)1，x2(1f(1)(1f(2)(1)，x3(1f(3)(1)，x4(1).(3) 由(2)知，x1，x2，x3，x4，由此可以猜想xn.证明：当n1时，x1，而，猜想成立假设当nk(kN*)时，xn成立，即xk，则nk1时，xk1(1f(1)(1f(2)(1f(k)(1f(k1)xk(1f(k1).当nk1时，猜想也成立，根据可知，对一切nN*，猜想xn都成立
