1、3 综合法与分析法 3.1 综 合 法 1.综合法的定义及特点 必备知识自主学习【思考】综合法的证明过程是归纳推理还是演绎推理?提示:不是归纳推理,是演绎推理.2.综合法的框图表示 (P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示所要证明的结论)【思考】综合法的证明过程是什么?提示:综合法的证明过程如下:【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)综合法是由因导果的顺推证法.()(2)综合法证明的依据是三段论.()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.()提示:(1).由综合法的定义可知该说法正确.(2).综合法的逻辑依据是三段论.(3).综合法从“已知”看“可知”,逐
2、步推出“未知”,其逐步推理实际上是寻找它的必要条件.2.设a=lg 2+lg 5,b=ex(xb B.ab C.a=b D.ab【解析】选A.因为a=lg 2+lg 5=lg 10=1,而b=exb.3.已知a,b,c满足cba,且acac B.c(b-a)0 C.cb20【解析】选A.因为ca,ac0,所以c0.又因为bc,所以abac.4.在不等式“a2+b22ab”的证明中:因为a2+b2-2ab=(a-b)20,所以a2+b22ab,该证明用的方法是_.【解析】由因导果,易知该证法为综合法.答案:综合法 关键能力合作学习 类型一 用综合法证明三角问题【典例】在ABC中,a,b,c分别为
3、内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)求证:A的大小为60;(2)若sin B+sin C=.证明ABC为等边三角形.3【思路导引】(1)利用正弦定理转化,然后利用余弦定理求A.(2)结合(1)中A的大小利用三角恒等变形证明A=B=C=60.【解析】(1)由正弦定理 得 因为2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,所以 =(2b-c)+(2c-b),即2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,得:b2+c2-a2=bc,abc2Rsin Asin Bsin C，abcsin Asin Bsin C2R2R2R，22a
4、2Rb2Rc2R由余弦定理得:cos A=所以A=60.(2)由A=60,所以B=120-C,因为sin B+sin C=,所以sin(120-C)+sin C=,即sin 120cos C-cos 120sin C+sin C=,222bcabc1.2bc2bc2333可得 cos C+sin C=.从而得 所以sin(30+C)=1，又0C120,则3030+C0,y0,x+y=1,求证:9.【思路导引】证明本题可用综合法解决,把不等式的左边展开用基本不等式即可.11(1)(1)xy【证明】方法一:因为x0,y0,1=x+y2 ,所以xy .所以 方法二:因为1=x+y,所以 又因为x0,
5、y0,所以 2.所以 5+22=9.xy1411111xy12(1)(1)1111 89.xyxyxyxyxyxy 11xyxyyxxy(1)(1)(1)(1)(2)(2)52().xyxyxyyxxyyx11(1)(1)xy【解后反思】利用基本不等式证明命题的一般步骤是什么?提示:一正、二定、三相等.【解题策略】1.综合法证明不等式的依据与注意点(1)依据:不等式的基本性质和已知的重要不等式.(2)注意点:注意不等式的性质和已证过的不等式各自成立的条件,这样才能使推理正确,结论无误.2.综合法证明不等式时常用的不等式及性质(1)a2+b22ab(当且仅当a=b时取等号).(2)(a0,b0,
6、当且仅当a=b时取等号).(3)a20,|a|0,(a-b)20.(4)2(a,b同号),-2(a,b异号).(5)a,bR,a2+b2 (a+b)2.(6)不等式的性质.baababab2baab12【跟踪训练】设a,b,c为不全相等的正数,且abc=1,求证:【证明】因为a0,b0,c0,且abc=1,所以 =bc+ca+ab.又bc+ca 同理bc+ab2 ,ca+ab2 .因为a,b,c不全相等,111abcabc.111abc22 bcca2 abc2 c，ba所以上述三个不等式中的“=”号不能同时成立.所以2(bc+ca+ab)2(),即bc+ca+ab 故 cababc,111a
7、bc.abc【补偿训练】已知a,b,c0,求证:a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).【证明】因为a2+b22ab,a,b,c0,所以(a2+b2)(a+b)2ab(a+b),所以a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2,所以a3+b3a2b+ab2.同理,b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2,将三式相加得,132(a3+b3+c3)a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.所以3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).所以a3+b3+c3 (
8、a2+b2+c2)(a+b+c).13类型三 综合法在数列中的应用【典例】已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn-n=2(an-2)(nN*).试证明数列an-1为等比数列并求数列an的通项公式.【思路导引】由an=Sn-Sn-1(n2)将前n项和化为通项公式an的关系式,利用等比数列定义证明an-1是等比数列.【解析】因为Sn-n=2(an-2),当n2时,Sn-1-(n-1)=2(an-1-2),两式相减,得an-1=2an-2an-1,所以an=2an-1-1,所以an-1=2(an-1-1),所以 =2(n2)(常数).又当n=1时,a1-1=2(a1-2)得a1=3,a1-1=2,
9、所以数列an-1是以2为首项,2为公比的等比数列.所以an-1=22n-1=2n,所以an=2n+1.nn 1a1a1【解后反思】如何证明一个数列an是等比数列?提示:证明一个数列是等比数列,只需证明相邻两项之比是一个与n无关的常数 即可(或 =an-1an+1).2na【解题策略】综合法证明数列问题的依据【跟踪训练】已知:a,b,c三数成等比数列,且x,y分别为a,b和b,c的等差中项.求证:【证明】依题意,a,b,c三数成等比数列,所以 ,所以 又由题设知 而 ac2.xyabbcab,abbcabbcx,y,22ac2a2c2b2c2bc2.xyabbcbcbcbc（）【补偿训练】已知数
10、列an中,Sn是它的前n项和,并且Sn+1=4an+2(n=1,2,),a1=1.设bn=an+1-2an(n=1,2,),求证数列bn是等比数列,并求出bn的通项公式.【解析】因为Sn+1=4an+2,所以Sn+2=4an+1+2,两式相减,得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,3,),即an+2=4an+1-4an,变形得an+2-2an+1=2(an+1-2an).因为bn=an+1-2an(n=1,2,),所以bn+1=2bn(n=1,2,).由此可知数列bn是公比为2的等比数列.因为S2=a1+a2=4a1+2,a1=1,所以a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=
11、32n-1.课堂检测素养达标 1.在非等边三角形ABC中,A为钝角,则三边a,b,c满足的条件是()A.b2+c2a2 B.b2+c2a2 C.b2+c2a2 D.b2+c2a2【解析】选D.由余弦定理的推论,得cos A=,因为A为钝角,所以 cos A0,则b2+c2a2.222bca2bc2.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,+),当x1 f(x2)”的是()A.f(x)=B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)【解析】选A.本题就是找哪一个函数在(0,+)上是减函数,A项中,f(x)=0),因为MA=MB,所以MAB=MBA,所以直线MF的斜率为-k,所以直线ME的方程为y-y0=k(x-).由 消去x得ky2-y+y0(1-ky0)=0.解得yE=,所以xE=同理可得yF=,所以xF=.所以kEF=(定值).所以直线EF的斜率为定值.20y20y2002yykxyyx（），01kyk2021 ky.k（）01kyk2021kyk（）00EF22000EF02221ky1ky2yy1kkk4ky1ky1kyxx2ykkk（）（）