1、6.3对数函数基础过关练题组一对数函数的概念1.(2021江苏南京溧水高级中学高一月考)下列函数是对数函数的是()A.y=log5x+1B.y=logax2(a0,且a1)C.y=log(3-1)xD.y=logx3(x0,且x1)2.(2021江苏徐州郑集高级中学高一期中)函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,则f 18=(易错)A.3B.-3C.-log36D.-log383.已知函数f(x)=loga(x+2),若其图象过点(6,3),则f(2)的值为()A.-2B.2C.12D.124.(2020江苏如皋中学高一月考)函数f(x)=x2+1,x1,log2x,x1,则f(
2、f(-1)=.题组二对数(型)函数的图象5.(2021江苏淮安清浦中学高一期中)函数f(x)=12x与g(x)=-log2x的大致图象是()ABCD6.(2021山东菏泽第一中学高一月考)如图是y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx在同一平面直角坐标系中的图象,则a,b,c,d的大小关系是()A.0ab1dcB.0ba1cdC.0cd1abD.0cd1b1的图象和函数g(x)=log15(x+2)的图象的交点个数为()A.1B.2C.3D.48.(2021安徽宿州高一期末)已知函数f(x)=(2m-1)xm(mR)是幂函数,则函数g(x)=loga(x+m)+2(a0,
3、且a1)的图象所过定点P的坐标是()A.(0,2)B.(1,2)C.(2,2)D.(-1,2)9.已知函数y=lg x的图象C,作图象C关于直线y=x的对称图象C1,将图象C1向左平移3个单位后再向下平移2个单位得到图象C2,若图象C2所对应的函数为f(x),则f(-3)=.题组三反函数10.(2021江苏连云港高级中学高一月考)若函数f(x)=2x的反函数是g(x),则g(2)的值为()A.1B.2C.3D.411.(2020陕西安康汉滨高一上月考)若函数y=loga(2x-3)+22 (a0,a1)的图象过定点(m,n),则函数y=lognx的反函数是.12.(2021江苏盐城阜宁第一高级
4、中学高一月考)函数f(x)与g(x)互为反函数,若f(x)=10x2 021(x0),求函数g(x)的解析式、定义域和值域.题组四对数(型)函数的性质及简单应用13.函数f(x)=3x-1+ln(1-x)的定义域为()A.13,1B.13,1C.13,1D.13,114.(2021江苏淮安洪泽中学高一月考)函数y=2+log2x(x1)的值域为()A.(2,+)B.(-,2)C.2,+)D.3,+)15.(2021江苏扬州江都中学高一月考)函数f(x)=log13(6-x-x2)的单调递增区间是()A.-12,+B.-,-12C.-3,-12D.-12,216.(2021江苏盐城响水中学高一期
5、中)若函数f(x)=logax(0abcB.acbC.cabD.cba18.(2020广东佛山一中高一期中)定义在(-,0)上的函数f(x)是增函数,若f(-1)1.题组五对数(型)函数在实际问题中的应用20.(2020江苏泰州高一月考)有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2019年约为3 000万吨,2020年的年增长率约为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从年开始,快递行业产生的包装垃圾超过30 000万吨.(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)21.20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)定义了一种表明地震能量大小的
6、尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1,lg 50.699 0)(1)根据中国地震台网测定,2019年9月27日01时17分,新疆巴音郭楞蒙古自治州若羌县发生地震,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是30,此时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1);(2)2008年5月1
7、2日14时28分04秒在我国四川省阿坝藏族羌族自治州汶川县发生特大地震,根据中华人民共和国地震局的数据知,此次地震的里氏震级达8.0,地震烈度达到11度.此次地震的地震波已确认共环绕了地球6圈.地震波及大半个中国及亚洲多个国家和地区,北至辽宁,东至上海,南至香港、澳门、泰国、越南,西至巴基斯坦均有震感.请计算汶川地震的最大振幅是5.0级地震的最大振幅的多少倍.能力提升练题组一对数(型)函数的图象及其应用1.(多选)(2021江苏南通平潮高级中学高一月考,)已知函数f(x)=ax-1+1(a0,a1)的图象恒过点A,则下列函数图象也过点A的是()A.y=1-x+2B.y=|x-2|+1C.y=l
8、og2(2x)+1D.y=2x-12.(2021江苏盐城响水中学高一月考,)已知a0,且a1,则函数y=ax与y=loga-1x的图象可能是()ABCD3.()已知函数y=loga(3x+b-1)(a0,a1,bR)的图象如图所示,则下列不等式正确的是()A.0a-1b1B.0ba-11C.0b-1a1D.0a-1b-114.()f(x)=|log2x|,02,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,4)5.()如图所示,过函数f(x)=logcx(c1)的图象上的两点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M(a
9、,0),N(b,0)(ba1),线段BN与函数g(x)=logmx(mc1)的图象交于点C,且AC与x轴平行.(1)当a=2,b=4,c=3时,求实数m的值;(2)当b=a2时,求mb2ca的最小值.题组二对数(型)函数的性质及其应用6.()已知函数f(x)=24x-a2x的图象关于原点对称,g(x)=ln(ex+1)-bx是偶函数,则logab=()A.1B.-12C.1D.147.()设f(x)=(1-2a)x,x1,logax+13,x1,若存在x1,x2R,x1 x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.0,13B.13,12C.0,12D.14,138.(多选
10、)(2021江苏淮安淮州中学高一月考,)已知函数f(x)=log2(x-1),x1,12x,x1,则下列结论正确的是()A.若f(a)=1,则a=3B.f f2 0212 020=2 020C.若f(a)2,则a5或a-1D.若方程f(x)=k有两个不同的实数根,则k129.(2021安徽合肥高一期末,)已知函数f(x)=|log2x|,x0,|x+1|,x0.若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(x1,x2,x3,x4互不相等),则x1+x2+x3+x4的取值范围是注:函数y=x+1x在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增()A.-12,0B.-12,0C.0,12D.0
11、,1210.(多选)(2021江苏连云港板浦高级中学高一期中,)已知函数f(x)=loga(x2-ax+1)(a0且a1),则下列命题为真命题的是()A.当a=2时,f(x)的值域为RB.存在a,使得f(x)为奇函数或偶函数C.当a2时,f(x)的定义域不可能为RD.存在a,使得f(x)在区间(-,2)上为减函数11.(2021江苏宿迁致远中学高一期中,)若函数f(x)=log12(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m的取值范围为.12.(2021上海行知中学高一期末,)若函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=log2x-2x,则不等式f(x)
12、0的解集为.13.(2020河北承德第一中学高一上月考,)已知函数f(x)=log12(x2-mx-m).(1)若m=1,求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的值域为R,求实数m的取值范围;(3)若函数f(x)在区间(-,1-3)上是增函数,求实数m的取值范围.14.(2021上海复旦附中高一期末,)已知函数h(x)=|log12x|.(1)求h(x)在12,aa12上的最大值;(2)设函数f(x)的定义域为I,若存在区间AI,满足对任意x1A,都存在x2A(其中A表示A在I上的补集),使得f(x1)=f(x2),则称区间A为f(x)的“区间”.已知x12,2,若A=12,a为函数h(
13、x)的“区间”,求a的最大值.答案全解全析6.3对数函数基础过关练1.C选项A中,对数式后面加1,所以不是对数函数;选项B中,真数不是自变量x,所以不是对数函数;选项C中,符合对数函数的概念,是对数函数;选项D中,底数是自变量x,不是常数,所以不是对数函数.故选C.2.B因为函数f(x)为对数函数,所以a2+a-5=1,解得a=2或a=-3.因为对数函数的底数大于0,且不等于1,所以a=2,故f(x)=log2x,所以f18=-3.故选B.易错警示要注意对数函数的系数为1、真数大于0、底数大于0且不等于1.3.B将点(6,3)代入f(x)=loga(x+2)中,得3=loga(6+2)=log
14、a8,即a3=8,a=2,f(x)=log2(x+2),f(2)=log2(2+2)=2.4.答案1解析由题意得f(-1)=(-1)2+1=2,f(f(-1)=f(2)=log22=1.5.A易知函数f(x)=12x是减函数,且其图象过点(0,1),函数g(x)=-log2x是减函数,且其图象过点(1,0),故选A.6.C作出直线y=1,如图所示:当y=1时,x1=c,x2=d,x3=a,x4=b,因为0x1x21x3x4,所以0cd1a0,且a1)的图象所过定点P的坐标是(0,2).故选A.9.答案-1解析函数y=lg x的图象C关于直线y=x的对称图象C1对应的函数为y=10x,将图象C1
15、向左平移3个单位后再向下平移2个单位得到图象C2,则C2对应的函数为f(x)=10x+3-2,故f(-3)=1-2=-1.10.A由于函数f(x)=2x的反函数是g(x),因此g(x)=log2x,因此g(2)=log22=1.故选A.11.答案y=22x解析对数函数y=logax(a0,a1)的图象过定点(1,0),函数y=loga(2x-3)+22(a0,a1)的图象过定点2,22,n=22,y=lognx=log22x,函数y=log22x的反函数是y=22x.12.解析易知f(x)=10x2 021=(1012 021)x(x0)是增函数,所以0(1012 021)x0,解得13x0的
16、解集为x|-3x2 0200=1,b=log2 02012 021log2 0201=0,0=log2 0211log2 0212 0201,b0,0ccb.故选B.18.答案110,1解析因为定义在(-,0)上的函数f(x)是增函数,且f(-1)f(lg x),所以lgx0,-1lgx,解得110x0,2+x0,解得-2x1=log33,所以-2x3,解得1x1的解集为(1,2).20.答案2 025解析设第n(nN*)年快递行业产生的包装垃圾为y万吨,则y=3 000(1+50%)n-2 019.令y30 000,得3 000(1+50%)n-2 01930 000,即1.5n-2 019
17、10,所以(n-2 019)lg 1.5lg 10,所以n-2 0191lg3-lg210.477 1-0.301 05.68,所以n2 024.68,所以从2025年开始,快递行业产生的包装垃圾超过30 000万吨.21.解析(1)M=lg 30-lg 0.001=lg 30 000=4+lg 34.5,因此这次地震的震级约为里氏4.5级.(2)由M=lg A-lg A0,得M=lg AA0,则A=A010M.当M=8.0时,地震的最大振幅A1=A0108;当M=5.0时,地震的最大振幅A2=A0105.所以两次地震的最大振幅之比是A1A2=103=1 000.故汶川地震的最大振幅是5.0级
18、地震的最大振幅的1 000倍.能力提升练1.ABC令x=1,得f(1)=a0+1=2,即函数f(x)的图象恒过点A(1,2).选项A中,函数y=1-x+2,令x=1,得y=2,此时函数图象过点A(1,2),满足题意;选项B中,函数y=|x-2|+1,令x=1,得y=2,此时函数图象过点A(1,2),满足题意;选项C中,函数y=log2(2x)+1,令x=1,得y=2,此时函数图象过点A(1,2),满足题意;选项D中,函数y=2x-1,令x=1,得y=1,此时函数图象不过点A(1,2),不满足题意.故选ABC.2.C若0a1,则函数y=ax为减函数,且其图象过点(0,1),y=loga-1x=-
19、loga(-x)为减函数,且x1,则函数y=ax为增函数,且其图象过点(0,1),y=loga-1x=-loga(-x)为增函数,且x1,则0a-11.当x=0时,y=logab,结合题图可得-1logab0,即-1=loga1alogabloga1=0,又y=logab为单调递增函数,所以0a-1b1.故选A.4.D作出函数f(x)=|log2x|,02的图象,如图:不妨设abc,则|log2a|=|log2b|,即log2a=-log2b,则log2(ab)=0,所以ab=1.又由图象可知2c1,1-2a0,1-2a1,a0,a1,0a12,01-2a1时,函数f(x)为减函数.存在x1,
20、x2R,x1x2,使得f(x1)=f(x2)成立,不妨设x11,x21,(1-2a)x1=logax2+13,(1-2a)x11-2a,logax2+1313,1-2a13.13a1,log2(a-1)=1或a1,12a=1,解得a=3或a=0,故A错误;对于选项B,f2 0212 020=log22 0212 020-1=log212 020=log122 020,因为log122 0201,log2(a-1)2或a1,12a2,解得a5或a-1,故C正确;对于选项D,作出y=f(x)的图象,如图所示:结合图象知f(1)=12,因为方程f(x)=k有两个不同的实数根,所以y=f(x)的图象与
21、直线y=k有两个交点,所以k12,故D错误.故选BC.9.D作出函数y=f(x)的图象,如图所示:设x1x20x31x4,则x1+x2=2(-1)=-2.因为|log2x3|=|log2x4|,所以-log2x3=log2x4,所以log2x3+log2x4=log2(x3x4)=0,所以x3x4=1,即x3=1x4.当|log2x|=1时,解得x=12或x=2,所以1x42.设t=x3+x4=1x4+x4,因为函数y=x+1x在(1,+)上单调递增,所以11+11x4+x412+2,即2x3+x452,所以-2+2x1+x2+x3+x4-2+52,即00,则f(x)=log2(x-1)2R,
22、即值域为R,故A正确.f(x)=loga(x2-ax+1)的定义域是不等式x2-ax+10的解集,无论实数a取何值,定义域都是无限集.要使f(x)=loga(x2-ax+1)为偶函数,只需f(-x)=f(x),则x2-ax+1=x2-a(-x)+1,即2ax=0对定义域内的实数x恒成立,解得a=0,此时对数的底数为零,无意义;要使f(x)=loga(x2-ax+1)为奇函数,只需f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,所以(x2-ax+1)x2-a(-x)+1=1,即(x2+1)2-(ax)2=0对定义域内的任意实数x恒成立,此方程为四次方程,至多有四个不同的实数根,矛盾,故B错误
23、.不等式x2-ax+10的解集为R,等价于a2-40,即-2a2时,f(x)的定义域不可能为R,故C正确.要使f(x)=loga(x2-ax+1)在区间(-,2)上为减函数,只需a1,a22,22-2a+10,无解,故D错误.故选AC.11.答案43,2解析根据对数函数的概念得-x2+4x+50,解得-1x5.易知二次函数y=-x2+4x+5的图象开口向下,对称轴为直线x=-42(-1)=2,由复合函数的单调性得函数f(x)=log12(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).要使函数f(x)=log12(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,只需3m-22,m+25,
24、3m-2m+2,解得43m0时,y=log2x为增函数,y=2x为减函数,所以f(x)=log2x-2x在(0,+)上为增函数,因为f(2)=log22-22=0,所以当x(0,2)时,f(x)0.又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=0,且f(x)在(-,0)上为增函数,所以当x(-,-2)时,f(x)0.又f(x)为奇函数,所以f(0)=0,所以不等式f(x)0的解集为(-,-20,2.13.解析(1)若m=1,则f(x)=log12(x2-x-1),要使函数有意义,只需x2-x-10,解得x-,1-521+52,+,故函数f(x)的定义域为-,1-521+5
25、2,+.(2)函数f(x)的值域为R,x2-mx-m能取遍一切正实数,=m2+4m0,即m(-,-40,+),实数m的取值范围为(-,-40,+).(3)若函数f(x)在区间(-,1-3)上是增函数,则根据复合函数的同增异减原则,得y=x2-mx-m在区间(-,1-3)上是减函数,且x2-mx-m0在区间(-,1-3)上恒成立,故m213,且(1-3)2-m(1-3)-m0,解得m2-23且m2,故m2-23,2.14.解析(1)函数h(x)=|log12x|的图象如图所示:当122时,h(x)的最大值为h(a)=-log12a=log2a.(2)当12a1时,h(x)在12,a上的值域为(log12a,1,h(x)在a,2上的值域为0,1.因为对任意x1A,都存在x2A,使得f(x1)=f(x2),所以(log12a,1)0,1,成立,此时A=12,a为函数h(x)的“区间”.当1a2时,h(x)在12,a上的值域为0,1,h(x)在a,2上的值域为-log12a,1,当1x1a时,h(x1)h(a)=-log12a,所以x11,a),h(x1)-log12a,1,即存在x1A,对任意x2A,使得f(x1)f(x2),所以A=12,a不是函数h(x)的“区间”.所以a的最大值是1.