1、第6章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数基础过关练题组一幂函数的概念1.在函数y=1x,y=x2,y=2x+1,y=1,y=2x2,y=x-12中,为幂函数的是(易错)A.B.C.D.2.已知y=(2a+b)xa+b+(a-2b)是幂函数,则a=,b=.3.(2021江苏无锡天一中学高一月考)若幂函数y=mxn(m,nR)的图象经过点8,14,则m+n=.题组二幂函数的图象及其应用4.(2020山东泰安宁阳一中高一上月考)函数y=x54的大致图象是()5.(2020江苏泰兴黄桥中学高一月考)如图所示,C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象,则解析式中指数k的值依次可以是(深
2、度解析)A.-1,12,3B.-1,3,12C.12,-1,3D.12,3,-16.已知幂函数f(x)=x的图象过点P2,14,试画出f(x)的图象,并指出该函数的定义域与单调区间.题组三幂函数的性质及其应用7.下列函数在定义域上为单调递增函数的是()A.y=-1xB.y=x-12C.y=x72D.y=(x-1)28.(多选)(2021江苏南通高一期中)已知点a,12在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.(0,+)上的增函数D.(0,+)上的减函数9.已知f(x)=x12,0ab1,则下列各式中正确的是()A. f(a)f(b)f 1af 1bB
3、. f 1af 1bf(b)f(a)C. f(a)f(b)f 1bf 1aD. f 1af(a)f 1bf(1-a)的实数a的取值范围是.12.(2021江苏宿迁宿豫中学高一月考)已知幂函数f(x)=x-m2-2m+3(-2m2,mZ)同时满足:在区间(0,+)上为增函数;对任意的xR,都有f(-x)-f(x)=0.求f(x)的解析式,并求当x0,4时,f(x)的值域.能力提升练题组一幂函数的概念和图象及其应用1.(2020河南八市重点高中联盟高一上月考,)已知幂函数y=xm2+2m-3(mZ)的图象如图所示,则m的值为()A.-2或0B.-1C.0D.-22.(2020江苏连云港海州高级中学
4、高一月考,)若幂函数f(x)的图象过点(27,33),则函数f(x-1)-f(x)2的最大值为()A.12B.12C.34D.-13.(多选)(2020湖北黄冈黄州第一中学高一期中,)已知幂函数y=xm2-2m-3(mZ)的图象与x轴和y轴都没有交点,且关于y轴对称,则m的值可以为()A.-1B.1C.2D.34.(2020吉林白山一中高一上期中,)对于幂函数f(x)=x45,若0x1f(x1)+f(x2)2B. fx1+x221在定义域上是单调函数,则实数a的取值范围是()A.-1,6B.(-1,6)C.4,6D.4,6)7.(2020江苏镇江中学高一月考,)已知函数f(x)=(m2-m-1
5、)xm2+m-3是幂函数,对任意x1,x2(0,+),且x1x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x20.若a,bR,且f(a)+f(b)1及幂函数的性质,可得选项C符合题意.故选C.5.A根据幂函数的图象与性质可知,kC3kC20kC1,所以解析式中指数k的值依次可以是-1,12,3.故选A.方法技巧幂函数y=x在第一象限内的图象特征:(1)当1时,图象过点(0,0),(1,1),下凸递增,如y=x3;(2)当01时,图象过点(0,0),(1,1),上凸递增,如y=x12;(3)当0时,图象过点(1,1),下凸递减,且向坐标轴无限逼近,如y=x-1.6.解析因为f(x)=x的图象过点P2,1
6、4,所以f(2)=14,即2=14,解得=-2,所以f(x)=x-2.f(x)的图象如图所示,定义域为(-,0)(0,+),单调递减区间为(0,+),单调递增区间为(-,0).7.C对于A选项,函数y=-1x在定义域上不单调;对于B选项,函数y=x-12的定义域为(0,+),且函数在定义域上为减函数;对于C选项,函数y=x72=x7,则x70,解得x0,所以函数y=x72的定义域为0,+),且函数在定义域上为增函数;对于D选项,函数y=(x-1)2在定义域上不单调.故选C.8.AD由函数f(x)=(a-1)xb为幂函数可知a-1=1,解得a=2,所以点a,12即为2,12,代入f(x)=xb,
7、得2b=12,解得b=-1,即f(x)=1x.故函数f(x)是奇函数,且是(0,+)上的减函数.故选AD.9.C因为0ab1,所以0ab11b1a.又函数f(x)=x12在(0,+)上是增函数,所以f(a)f(b)f1b0,即m-1,m=1.故选A.11.答案(2,+)解析设f(x)=x(为常数),因为f(x)的图象过点(2,8),所以2=8,解得=3,所以f(x)=x3.因为f(x)=x3在R上为增函数,f(a-3)f(1-a),所以a-31-a,解得a2.所以满足不等式f(a-3)f(1-a)的实数a的取值范围是(2,+).12.解析因为函数f(x)在(0,+)上为增函数,所以-m2-2m
8、+30,解得-3m1.因为-2m2,mZ,所以m=-1或m=0.因为对任意的xR,都有f(-x)-f(x)=0,即f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,所以-m2-2m+3为偶数.当m=-1时,-m2-2m+3=4,满足题意;当m=0时,-m2-2m+3=3,不满足题意.所以f(x)=x4.因为f(x)=x4在0,4上为增函数,所以f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(4)=256,故当x0,4时,函数的值域是0,256.能力提升练1.A由题图得,幂函数在第一象限内单调递减,所以m2+2m-30,解得-3m1,又mZ,所以m=-2或m=-1或m=0.由题图知该函数是奇函数.若
9、m=-2,则m2+2m-3=-3,符合题意;若m=-1,则m2+2m-3=-4,不符合题意;若m=0,则m2+2m-3=-3,符合题意.综上,m=-2或m=0.故选A.2.C设幂函数f(x)=x,R,因为函数f(x)的图象过点(27,33),所以27=33=33=332,所以=12,故f(x)=x,所以f(x-1)-f(x)2=x-1-x.令x-1=t(t0),y=x-1-x,则y=t-(1+t2)=-t-12234,t0,所以当t=12时,ymax=-34.故选C.3.ABD幂函数y=xm2-2m-3(mZ)的图象与x轴和y轴都没有交点,且关于y轴对称,m2-2m-30,且m2-2m-3(m
10、Z)为偶数.由m2-2m-30,得-1m3,又mZ,m=-1,0,1,2,3.当m=-1时,m2-2m-3=1+2-3=0,为偶数,符合题意;当m=0时,m2-2m-3=-3,为奇数,不符合题意;当m=1时,m2-2m-3=1-2-3=-4,为偶数,符合题意;当m=2时,m2-2m-3=4-4-3=-3,为奇数,不符合题意;当m=3时,m2-2m-3=9-6-3=0,为偶数,符合题意.综上所述,m的值可以为-1,1,3.故选ABD.4.A幂函数f(x)=x45在(0,+)上是增函数,大致图象如图所示.设A(x1,0),C(x2,0),其中0x112(AB+CD),fx1+x22f(x1)+f(
11、x2)2,故选A.5.CD当=-1时,y=1x,函数在(-,0)和(0,+)上递减,不能说在定义域上递减,故A选项错误;当=0时,y=x0,x0,其图象是去掉点(0,1)的直线y=1,故B选项错误;当=2时,y=x2,函数的定义域为R,是偶函数,所以C选项正确;当=3时,y=x3,其图象与x轴只有1个交点,且交点的横坐标为0,所以D选项正确.故选CD.6.D令h(x)=x2-4x+a(x1),g(x)=xa2-5a-6(x1).易知函数y=x2-4x+a的图象的对称轴为直线x=-42=2,所以h(x)=x2-4x+a(x1)是单调递减函数.因为f(x)在定义域上是单调函数,所以g(x)=xa2
12、-5a-6(x1)也为单调递减函数,且h(1)g(1),即a2-5a-60,1-4+a1,所以4a0,所以函数f(x)在(0,+)上为增函数.故f(x)=x3.易知函数f(x)=x3是单调递增的奇函数,又f(a)+f(b)0,因此f(a)-f(b)=f(-b),则a-b,所以a+b0,故选B.8.答案13,73解析幂函数f(x)=(m-1)2xm2-4m+2,(m-1)2=1,m=0或m=2.当m=2时,f(x)=x-2,函数在(0,+)上单调递减,舍去;当m=0时,f(x)=x2,函数在(0,+)上单调递增,满足题意.f(x)=x2.当x1,5)时,f(x)=x21,25),g(5)=25-
13、3t25,即t73,且g(1)=2-3t1,即t13.t13,73.9.解析(1)由题意得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x,符合题意;当m=-1时,f(x)=x-2,定义域为x|x0,不符合题意.所以实数m的值为2.(2)由(1)知f(x)=x,则f(x)2-af(x)+b0即为x2-ax+b0.因为x2-ax+b0的解集为0,6,所以由根与系数的关系可知0+6=a,06=b,解得a=6,b=0,故ab=1.10.解析(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m=2.当m=1时,f(x)=x2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f(x)=x3,是奇函数,不符合题意,舍去.故f(x)=x2.(2)由(1)得g(x)=f(x)-2(a-1)x+1=x2-2(a-1)x+1,其图象的对称轴为直线x=a-1.由函数g(x)在区间(2,3)上为单调函数,得a-12或a-13,解得a3或a4,故实数a的取值范围为a3或a4.