1、31.4空间向量的正交分解及其坐标表示填一填1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量2空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e2，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量p，由空间向量基本
2、定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z).判一判1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()2向量的坐标与点P的坐标一致()3对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组1，2，3使01a12a23a3.()4空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应()5向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响()6基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示()7空间三个向量不共面，其中的一个向量可以是0.()8空间的一个基底是指一个向量组
3、，是由三个不共面的空间向量构成的()想一想1.空间向量的基底与基向量是同一概念吗？不是一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念2在空间几何图形中建立空间直角坐标系的关键是什么？关键是利用几何图形特征，尽量寻找三条两两垂直且交于一点的直线，若找不到则应想法构建3同一个几何体中的点在不同的空间直角坐标系下坐标是否相同？由于建立的坐标系不同，从而各点在不同的坐标系下坐标不一定相同，但本质是一样的思考感悟：练一练1已知a，b，c是空间的一个基底，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是()Aa BbCa2b Da2c答案：D2设p：a，b，c是三个非零向量；q：
4、a，b，c为空间的一个基底，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：B3如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有()Aa与b共线 Ba与b同向Ca与b反向 Da与b共面答案：A4O、A、B、C为空间四个点，又，为空间的一个基底，则()AO、A、B、C四点不共线BO、A、B、C四点共面，但不共线CO、A、B、C四点中任意三点不共线DO、A、B、C四点不共面答案：D知识点一空间向量基本定理的理解1在以下三个命题中，真命题的个数是()三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；若两个非零向量a，b与任何一个向量都不
5、能构成空间的一个基底，则a，b共线；若a，b是两个不共线的向量，而cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底A0 B1C2 D3解析：正确基底向量必须不共面；正确；不对，a，b不共线，当cab时，a，b，c共面故只有正确答案：C2若向量，的起点与终点M，A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，成为空间一组基底的关系是()A.B.C.D.2解析：A中，M，A，B，C共面，因1；B中，M，A，B，C可能共面，但可能；D中，2，四点共面，故选C.答案：C知识点二空间向量基本定理的应用3如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边O
6、A，BC的中点，点G在线段MN上，且2，现用基向量，表示向量，设xyz，则x，y，z的值分别是()Ax，y，z Bx，y，zCx，y，z Dx，y，z解析：连接ON.M，N分别是对边OA，BC的中点，()，()()，x，yz.故选D.答案：D4已知四面体ABCD中，a2c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则_.解析：如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则(5a6b8c)(a2c)3a3b5c.答案：3a3b5c知识点三空间向量的坐标表示5.已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz的单位正交基底，并且ijk，则B点的坐标为()A(1,1，1) B(i，j，k)C(1，1，1
7、) D不确定解析：由于A点的坐标未知，故无法确定B点坐标答案：D6已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PAAD1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标解析：因为PAADAB1，所以可设e1，e2，e3.因为()()0e1e2e3.所以.综合应用7.如图所示，空间四边形OABC中，a，b，c，点M在上，且2，N为BC的中点，xaybzc，则x，y，z分别为()A.， B，C.， D.，解析：()()()，x，y，z，故选B.答案：B8已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则向量p在基底i，j，k下的坐标是()A
8、(12,14,10) B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)解析：依题意知p8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，故向量p在基底i，j，k下的坐标是(12,14,10)答案：A基础达标一、选择题1下列说法中不正确的是()A只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面C纵坐标为0的向量都共面D横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直解析：单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直，A说法不正确答案：A2已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，向量a在基底，下的坐标为(2,1，
9、3)，则向量a在基底，下的坐标为()A(2,1，3) B(1,2，3)C(1，8,9) D(1,8，9)解析：a232323，向量a在基底，下的坐标为(1,2，3)，故选B.答案：B3若向量，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则下列关系式能使向量，成为空间一组基底的是()A.B.C.D.2解析：由题意知只要，不共面即可对于选项A，由结论xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面知，共面；对于选项B，D，易知，共面；选项C中，不共面故选C.答案：C4如图是一个平行六面体ABCDA1B1C1D1，E为BC延长线上一点，2，则()A. B.C. D.解析：取BC的中点F，连接A1F，则A1
10、D1綊FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1F綊D1E，所以.又，所以，故选B.答案：B5已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是()A(12,14,10) B(10,12,14)C(14,12,10) D(4,3,2)解析：8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k.答案：A6若e1，e2，e3是空间的一个基底，又ae1e2e3，be1e2e3，ce1e1e3，de12e23e3，dxaybzc，则x，y，z分别为()A.，1， B.，1，C，1， D.，1，解析：xaybzcx(e1e2e3
11、)y(e1e2e3)z(e1e3e3)(xyz)e1(xyz)e2(xyz)e3e12e23e3，由空间向量基本定理，得x，y1，z.答案：A7如图，已知OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A. B.C. D.解析：如图，连接AG1并延长交BC于点E，则E为BC的中点，()(2)，(2)33()，()，故选A.答案：A8已知正方体ABCDABCD，O1，O2，O3分别是AC，AB，AD的中点，以，为基底，xyz，则x，y，z的值是()Axyz1 BxyzCxyz Dxyz2解析：()()()，对比xyz，得xyz1.答案：A二
12、、填空题9设i，j，k是空间中的一个单位正交基底，a2i4j5k，bi2j3k，则向量a，b在基底i，j，k下的坐标分别为_，_.解析：由空间向量坐标概念a(2，4,5)，b(1,2，3)答案：(2，4,5)(1,2，3)10在三棱锥PABC中，ABC为直角，PB平面ABC，ABBCPB1，M为PC的中点，N为AC的中点，以，为基底，则的坐标为_解析：()()，即.答案：11已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxaybc，若m与n共线，则x_，y_.解析：因为m与n共线，所以存在实数，使mn，即abcxaybc，于是有解得答案：1112正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点N为B1
13、B的中点，则|等于_解析：()，|a.答案：a三、解答题13.如图所示，四棱锥POABC的底面为一平行四边形，设a，b，c，E，F分别是PC和PB的中点，试用向量a，b，c表示，.解析：()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.14如图，已知正方体ABCDABCD中，点E是上底面ABCD的中心，取向量，为空间的一个基底，分别求和在基底，下的坐标解析：，在基底，下的坐标为(1,1,1)()，在基底，下的坐标为.能力提升15.如下图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)证明：A、E、C1、F四点共面；(2
14、)若xyz，求xyz.解析：(1)证明：因为，所以A、E、C1、F四点共面(2)因为().所以x1，y1，z.所以xyz.16已知e1，e2，e3为空间的一个基底，且2e1e23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判断P，A，B，C四点是否共面(2)能否以，作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示；若不能，请说明理由解析：(1)假设P，A，B，C四点共面，则存在实数x，y，z，使xyz，且xyz1，即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)比较对应的系数，得到关于x，y，z的方程组解得与xyz1矛盾，故P，A，B，C四点不共面(2)若，共面，则存在实数m，n，使mn，同(1)可证，这不可能，因此，可以作为空间的一个基底，令a，b，c，由e12e2e3a，3e1e22e3b，e1e2e3c联立方程组，解得所以2e1e23e32(3ab5c)(ac)3(4ab7c)17a5b30c17530.