1、5向心加速度知识点一对圆周运动中加速度的认识1实例分析(1)地球绕太阳做近似的匀速圆周运动，地球受太阳的力是万有引力，方向由地球中心指向太阳中心(2)光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动小球受到的力有重力、桌面的支持力、细线的拉力其中重力和支持力在竖直方向上平衡，合外力总是指向圆心2结论猜测一切做匀速圆周运动的物体的合外力和加速度方向均指向圆心任何做圆周运动的加速度都指向圆心吗？提示：做匀速圆周运动物体的加速度方向一定指向圆心，但一般的变速圆周运动的加速度方向一般不是指向圆心知识点二向心加速度1定义做匀速圆周运动的物体有指向圆心的加速度2大小(1)an；(2)an2r
2、.3方向沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直甲同学认为由公式an知向心加速度an与运动半径r成反比；而乙同学认为由公式an2r知向心加速度an与运动半径r成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点提示：他们两人的观点都不正确，当v一定时，an与r成反比，当一定时，an与r成正比考点一对速度变化量v的理解(1)速度变化量是指物体速度的增量，又叫速度的变化，它等于物体的末速度与初速度的矢量差若物体做直线运动，则vv2v1；若物体做曲线运动，速度变化量用平行四边形定则或矢量三角形定则来求(2)速度变化量是矢量，它有大小，也有方向当物体沿直线运动且速度增大时，v方向与速度方向相同；当物体沿直线运动且
3、速度减小时，v方向与速度方向相反，如图所示如果物体做曲线运动，如图所示，我们把初速度v1始端平移到末速度v2始端上，使v1、v2的箭尾重合，则从v1的箭头指向v2箭头的有向线段就表示v.【例1】如图所示一物体沿逆时针方向做匀速圆周运动，线速度是5 m/s，过了一段时间，由M点运动到了N点，则此物体速度的变化是多少，方向如何？不管是直线运动还是曲线运动，速度的变化量v都是从初速度v1的末端指向末速度v2的末端的有向线段【解析】作出矢量变化图(如图所示)，此矢量三角形为等腰直角三角形，所以v的方向与水平方向成45斜向右下，v的大小等于直角三角形的斜边，所以v5 m/s.【答案】物体速度的变化是5
4、m/s方向与水平方向成45斜向右下总结提能 (1)同一直线上的速度变化量通常用正、负号表示其矢量性，与规定方向相同用正号表示，反之用负号表示(2)曲线运动中的速度变化量用平行四边形定则(三角形定则)求解(3)曲线运动中的速度变化量也是矢量，特别注意匀速圆周运动中任意两点间的速度变化量v0.2013年9月30日，中国第一支无限制级特技飞行队中国红牛特技飞行队亮相“2013沈阳法库国际飞行大会”，打破了欧美对于无限制级特技飞行的垄断中国红牛特技飞行队可以做出大坡度盘旋、垂直横滚、俯冲横滚、“死亡”翻滚、半筋斗翻转、水平8字、跃升盘旋等高难动作如果飞机做曲线运动表演时，初速度为v1，经时间t后速度变
5、为v2，速度变化量v与v1和v2的方向的关系如图所示，其中正确的是(D)ABC D解析：本题考查矢量合成的平行四边形定则(即三角形定则)，根据题意，速度的变化量vv2v1，但它是一个矢量的表达式，可以用平行四边形定则，也可以用矢量三角形定则，但是要将平行四边形和三角形的箭头关系弄清楚，图中很显然是错误的，将v转化成了v1、v2的矢量和，中v的方向画错，是正确的，所以正确选项为D.考点二对向心加速度的理解(1)物理意义描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢(2)方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变(3)圆周运动的性质不论加
6、速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速曲线运动(4)变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心【例2】(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是()A向心加速度的方向始终与速度方向垂直B向心加速度的方向保持不变C物体做匀速圆周运动时的加速度不变D物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心要明白圆周运动的速度与向心加速度的方向，注意一般圆周运动与匀速圆周运动的区别【解析】
7、向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向所以，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变物体做匀速圆周运动时，具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，即加速度方向改变，大小不变，所以向心加速度是改变的【答案】AD总结提能 解该类问题的关键是分清匀速圆周运动加速度的特点匀速圆周运动的加速度就是向心加速度，方向时刻指向圆心，它只改变线速度的方向关于做匀速圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法正确的是(C)A与线速度方向始终相同B与线速度方向始终相反C始终指向圆心 D始终保持不变解析：做匀速圆周运动的物体，其向心加速度方向始终与速度方向垂直，它只改变速度的方向，不改变速
8、度的大小，故A、B选项错；向心加速度的大小不变，其方向时刻发生变化，并且始终指向圆心，故C选项正确，D选项错考点三向心加速度的大小(1)大小：anvv2/rr2r42f2r.由an知：r一定时，anv2；v一定时，an；an一定时，rv2；由anr2知：r一定时，an2；一定时，anr；an一定时，r.(2)物理意义：描述线速度方向改变的快慢(3)圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速曲线运动【例3】滑板运动深受青少年的喜爱，如图所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0 m的圆弧，该圆弧轨道在C点与水平轨道相接，运动员滑到C点时的
9、速度大小为10 m/s.求他到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力)运动员经过C点前、后的运动情况不同，前者做圆周运动，后者做匀速直线运动【解析】运动员经圆弧滑到C点时做圆周运动由公式a得a1 m/s250 m/s2，方向竖直向上运动员滑到C点后进入水平轨道做匀速直线运动，加速度a20.【答案】50 m/s2，方向竖直向上0总结提能 本题的关键是判断出运动员离开C点前后的运动情况物体在离开圆弧前、后的运动状态不同，加速度也就不同，切不可盲目套用公式如图所示，半径为R的圆环竖直放置，一轻弹簧一端固定在环的最高点A，一端系一带有小孔穿在环上的小球，弹簧原长为R.将小球从静止释放，释放时弹簧恰无形
10、变，小球运动到环的最低点时速率为v，这时小球向心加速度的大小为(A)A. B.C. D.解析：小球沿圆环运动，其运动轨迹就是圆环所在的圆，轨迹的圆心就是圆环的圆心，运动轨迹的半径就是圆环的半径，小球运动到环的最低点时，其向心加速度的大小为，加速度方向竖直向上，正确选项为A.1(多选)关于匀速圆周运动的说法，正确的是(BD)A匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度B做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度C做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速(曲线)运动D做匀速圆周运动的物体，加速度大小虽然不变，但加速度的方向始终
11、指向圆心，加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动解析：速度和加速度都是矢量，做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，速度时刻发生变化，必然具有加速度加速度大小虽然不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动故选项B、D正确2(多选)下列关于向心加速度的说法中正确的是(AC)A向心加速度的方向始终与速度方向垂直B在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的C做圆周运动时，向心加速度一定指向圆心D地球自转时，各点的向心加速度都指向地心解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，故选项C正确；速度方向为圆的切线方向，向心加速度的方向与速度方向互相垂直
12、，故选项A正确；向心加速度的方向不断地在变化，所以向心加速度不是恒定的，故选项B错误；地球上各点做圆周运动的圆心在地球自转的转轴上，向心加速度并不都是指向地心，故选项D错误3一质点做匀速圆周运动在时间t内(小于四分之一周期)，该质点通过的路程为s，其初速度方向与末速度方向间夹角为(即初位置、末位置与轨迹的圆心的连线之间的夹角为)，如图所示，t，s，为已知量，则(B)A质点的速率vB质点的向心加速度的大小为C已知条件不足，质点的角速度无法确定D已知条件不足，质点的向心加速度的大小无法确定解析：质点在时间t内，通过的路程为s，则质点的速率：v，故A错误；质点在时间t内，其初速度方向与末速度方向间夹
13、角为，则转过的角度为，根据角速度的定义可得：；质点的向心加速度：av，故B正确，C错误，D错误；故选B.4如图所示，O1和O2是摩擦传动的两个轮子，O1是主动轮，O2是从动轮，O1和O2两轮的半径之比为12.a，b两点分别在O1、O2的轮边缘，c点在O2上且与其轴心距离为轮半径的一半，若两轮不打滑，则a，b，c三点的向心加速度之比为(D)A221B122C112 D421解析：a，b两点的线速度大小相同，b，c两点的角速度相同，a，b，c做圆周运动的半径之比为121，由公式anv可求出向心加速度之比为421，选项D正确5(多选)关于北京和广州两地随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是(BD
14、)A两地的向心加速度方向都沿半径指向地心B两地的向心加速度方向都在平行赤道的平面内指向地轴C北京的向心加速度比广州的向心加速度大D北京的向心加速度比广州的向心加速度小解析：如图所示，地球表面各点的向心加速度方向(同向心力的方向)都在平行赤道的平面内指向地轴，选项A错误，B正确；在纬度为的地面上P点做圆周运动的轨道半径rR0cos，其向心加速度anr2R02cos.由于北京的地理纬度比广州的地理纬度大，北京随地球自转的半径比广州随地球自转的半径小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选项C错误，D正确学科素养培优精品微课堂思想方法系列(五)对向心加速度的进一步理
15、解方法解读(1)向心加速度表达式推导情景：如图所示，物体从A点经时间t沿圆周匀速率运动到B点，转过的角度为，物体在B点速度vB可以看成是它在A点的速度vA(线速度大小vAvBv)和速度的变化量v的合速度极限：当t趋近于0时，也趋近于0，B点接近A点，v与vA垂直，指向圆心所以向心加速度方向沿半径方向指向圆心推导：因为vA、vB和v组成的三角形与ABO是相似三角形，所以即v，将上式两边同时除以t，得，等式左边即为向心加速度a的大小，当t趋近于0时，等于匀速圆周运动的线速度v，代入上式整理得a.(2)由向心加速度方向看圆周运动性质向心加速度方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，不论加速度an的大小是
16、否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动(3)向心加速度的几种表达式不同形式的各种表达式a对应线速度：an.b对应角速度：anr2.c对应周期：anr.d对应转速：an42n2r.e推导公式：anv.理解a当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比随频率的增加或周期的减小而增大b当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比c当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比an与r的关系图象，如图所示由anr图象可以看出：an与r成正比还是反比，要看恒定还是v恒定【例】如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半
17、径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的.当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多少？解析同一轮子上的S点和P点的角速度相同，即SP.由向心加速度公式an2r，得，故aSaP12 m/s24 m/s2；又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vPvQ.由向心加速度公式an，得，故aQaP212 m/s224 m/s2.答案4 m/s224 m/s2总结提能 向心加速度的每个公式都涉及三个物理量的变化关系，所以必须在某一物理量不变时，才可以判断另外两个物理量之间的关系在v一定的情况下，可认为物体的向心加
18、速度an与r成反比；而在一定的情况下，可认为物体的向心加速度an与r成正比变式训练一部机器由电动机带动，机器上的皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3倍，如图，皮带与两轮之间不发生滑动，已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度为0.10 m/s2.(1)电动机皮带轮与机器皮带轮的转速比n1n2是多少？(2)机器皮带轮上的A点到转轴的距离为轮半径的一半，则A点的向心加速度是多少？(3)电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度是多少？解析：(1)由于皮带与两轮之间不发生滑动，所以两轮边缘上各点的线速度大小相等，设电动机皮带轮与机器皮带轮边缘的线速度大小分别为v1和v2，角速度大小分别为1和2，两轮半径分别为r1和r2，则有v1v2，v1r11，v2r22.又因为2n，所以n1n212r2r131.(2)由anr2知A点的向心加速度为anAan20.10 m/s20.05 m/s2.(3)电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度为an10.103 m/s20.30 m/s2.答案：(1)31(2)0.05 m/s2(3)0.30 m/s2