1、2.4.1抛物线及其标准方程填一填1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y判一判1.标准方程y22px(p0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离()2抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定()3平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线()4抛物线y220x的焦点坐标是(0,5)()5到点F(0,1)与到直线l：xy10的距离相等的点的轨迹是抛物
2、线()6抛物线就是双曲线的一支()7只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式()8焦点在y轴上的抛物线的标准方程x22py(p0)，也可以写成yax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的() 想一想1.定义中若去掉条件“l不经过F”，则此时点的轨迹是什么？若点F在直线l上，满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线，而不是抛物线2确定抛物线的标准方程时，一般需要确定几个量？确定两个量，一个是p，另一个是一次项系数的正负3求抛物线标准方程的方法是什么？(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，
3、进而写出抛物线的标准方程(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2mx或x2ny，利用已知条件求出m，n的值思考感悟：练一练1抛物线yx2的准线方程是()Ay1 By2Cx1 Dx2答案：A2已知定点A(1,1)和直线l：xy20，则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为()A椭圆 B双曲线C抛物线 D直线答案：D3若一抛物线的顶点在原点，焦点为F，则该抛物线的方程为()Ay2x By22xCy2x2 Dyx2答案：D4设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x答案：B知识点一抛物线的标准方程1根据下列条件写出抛物线的
4、标准方程：(1)准线方程为y1；(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.解析：(1)由准线方程为y1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且1，则p2.故抛物线的标准方程为x24y.(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y22px(p0)，则焦点坐标为，准线为x，则焦点到准线的距离是p3，因此所求的抛物线的标准方程是y26x.2求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(6,6)；(2)焦点F在直线l：3x2y60上解析：(1)由于点M(6,6)在第二象限，过M的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在x轴上，设其方程为y22px(p0)，将点M(6,6)代入，可得362
5、p(6)，p3.抛物线的方程为y26x.若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x22py(p0)，将点M(6,6)代入可得，362p6，p3，抛物线的方程为x26y.综上所述，抛物线的标准方程为y26x或x26y.(2)直线l与x轴的交点为(2,0)，抛物线的焦点是F(2,0)，2，p4，抛物线的标准方程是y28x.直线l与y轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是F(0，3)，3，p6，抛物线的标准方程是x212y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y28x或x212y.知识点二抛物线定义的应用3.若动点P与定点F(1,1)和直线l：3xy40的距离相等，则动点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线
6、C抛物线 D直线解析：解法一设动点P的坐标为(x，y)，则，整理，得x29y24x12y6xy40，即(x3y2)20，x3y20.动点P的轨迹为直线解法二显然定点F(1,1)在直线l：3xy40上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线答案：D4若动点到点(3,0)的距离比它到直线x2的距离大1，则动点的轨迹是()A椭圆 B双曲线C双曲线的一支 D抛物线解析：已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.答案：D知识点三抛物线方程的应用5.一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似
7、平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为0.5 m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标解析：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由已知条件可得，点A的坐标是(0.5,2.4)，代入方程，得2.422p0.5，即p5.76.所以所求抛物线的标准方程是y211.52x，焦点坐标是(2.88,0)6某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线
8、方程为x22py(p0)依题意知，点P(10，4)在抛物线上，所以1002p(4)，2p25.即抛物线方程为x225y.因为每4米需用一根支柱支撑，所以支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一设点B的坐标为(2，yB)，代入x225y，得yB.所以|AB|43.84，即最长支柱的长为3.84米.综合应用7.若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2 B2C4 D4解析：由题意知，a，b，c2.椭圆的右焦点为(2,0)，即抛物线的焦点为F(2,0)，2，p4.答案：D8已知抛物线y24x上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离是_解析：设A
9、B中点为M，抛物线的准线为x1，焦点F(1,0)，过M作准线的垂线MN，作AC垂直准线于C，BD垂直准线于D，则|MN|，由抛物线的性质得|AC|AF|，|BD|BF|，所以|MN|，又因为|AF|BF|AB|，所以|MN|，又|AB|6，所以|MN|3.设M到y轴的距离为d，显然有d|MN|1，所以d2，即AB中点M到y轴最短距离为2.答案：2基础达标一、选择题1顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是()Ay24x Bx24yCy24x或x24y Dy24x或x24y解析：设抛物线方程为y22p1x(p10)或x22p2y(p20)，把(4,4)代入得168p1或168p2，即p1
10、2或p22.故抛物线的标准方程为y24x或x24y.故选C.答案：C2已知动点M的坐标满足方程5|3x4y12|，则动点M的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：方程5|3x4y12|可化为，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x4y120的距离，由抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线故选C.答案：C3设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A4 B6C8 D12解析：由抛物线的方程得2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为426.答案：B4已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()
11、A. B1C. D.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|BF|).答案：C5已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0等于()A4 B2C1 D8解析：如图，F，过A作AA准线l，垂足为A，|AF|AA|，x0x0x0，x01.故选C.答案：C6顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()Ax23y By26xCx212y Dx26y解析：由已知得3，p6.抛物线的标准方程是x212y.答案：C7一个动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过定点()A(0,2
12、) B(0，2)C(2,0) D(4,0)解析：抛物线y28x的准线方程为x2.由题意得，圆心到定点的距离与圆心到直线x20的距离相等，所以根据抛物线定义得动圆必过抛物线y28x的焦点(2,0)答案：C8设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|()A9 B6C4 D3解析：因为0，所以点F为ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xAxBxC3，所以|xAxBxCxA1xB1xC16.答案：B二、填空题9以坐标原点为顶点，(1,0)为焦点的抛物线的方程为_解析：由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)，则有1，得p2，所以抛物线的方程为y2
13、4x.答案：y24x10若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是 _.解析：设点M坐标为(xM，yM)，抛物线y24x的准线为直线x1，由抛物线的定义知xM110，即xM9.答案：911已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_.解析：根据抛物线的定义得15，p8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得21，故a.答案：12下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_ m.解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面直
14、角坐标系，设抛物线的方程为x22py(p0)，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2 m.答案：2三、解答题13已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程解析：解法一如图所示，设抛物线的方程为x22py(p0)，则焦点F.准线l：y，作MNl，垂足为N，则|MN|MF|5，而|MN|3，35，即p4.所以抛物线方程为x28y，准线方程为y2.由m28(3)24，得m2.解法二设所求抛物线方程为x22py(p0)，则焦点为F.M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故解得抛物线方程为
15、x28y，m2，准线方程为y2.14某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解析：以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系(如图)设抛物线的方程是x22py(p0)，由题意知(4，5)在抛物线上，故162p(5)，所以p，则抛物线的方程是x2y(4x4)设水面上涨，木船两侧面与抛物线拱桥接触于B，B时，木船开始不能通航，设B(2，y)，所以22y，解得y，即水面与拱顶相距为0.752(米)，故当水面上涨到与拱顶相距2米时，木船不能通航.能力提升15
16、.如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解析：(1)抛物线y22px的准线方程为x，于是45，得p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，所以kAF，则直线FA的方程为y(x1)因为MNFA，所以kMN，则直线MN的方程为yx2.解方程组，得，所以N.16设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点(1)若点P到直线x1的距离为d，A(1,1)，求|PA|d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解析：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义，知|PF|d，于是问题转化为求|PA|PF|的最小值如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为.(2)把点B的横坐标代入y24x中，得y，因为2，所以点B在抛物线内部自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)，由抛物线的定义，知|P1Q|P1F|，则|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314.即|PB|PF|的最小值为4.
