1、课时训练49 直线与圆锥曲线位置关系【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.如果椭圆=1的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0答案：D解析：由点在直线上排除B、C，若为A，则直线与椭圆相交的弦不被点（4，2）平分，故选D.2.方程y=ax+b和a2x2+y2=b2(ab1)在同一坐标系中的图形可能是（ ）答案：C解析：a0,b0,直线y=ax+b过一、三象限且在y轴上的截距为正，排除B、D，又直线过点（0,b），（-,0）,b|-|.3.设A为双曲
2、线=1的右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点（ ）A.（，0） B.（，0） C.（4，0） D.（，0）答案：A解析：（特殊法）设A（5,）,则B（5,-）,C(,-).故kAC=，直线AC为y-=(x-5),即：10x-4y-41=0，与x轴交点为（，0），排除B、C、D，选A.4.对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y024x0的点M（x0,y0）在抛物线的内部，若点M（x0,y0）在抛物线的内部，则直线l:y0y=2(x+x0)与C（ ）A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点C.没有公共点 D.可能有一
3、个公共点也可能有两个公共点答案：C解析：联立方程组消去x,得y2-2y0y+4x0=0,=4y02-16x0=4(y02-4x0),M（x0,y0）在抛物线内，y024x0.0)的焦点F作一条直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则等于( )A.2a B.4a C. D.答案：D解析：(特殊法)令ABx轴，则xa=xb=,m=n=|ya|=.二、填空题（每小题5分，共15分）8.设P1、P2是抛物线x2=y的一条弦，如果P1P2的垂直平分线的方程为y=-x+3，那么弦P1P2所在的直线方程是_.答案：y=x+2解析：设P1（x1,y1），P2(x2,y2),显然=1,则P
4、1P2所在直线方程为y=x+b,由有x2-x-b=0,于是x1+x2=1,则P1P2的中点是P（）,P1P2所在直线方程又可为y-=x-. 又点P在直线y=-x+3上,即+3. 当代入得y=x-(x1+x2)+3=x+2.9.直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆=1总有公共点，则m的取值范围是_.答案：1，5）解析：由焦点在x轴上，故0m5,又数形结合知m1，故1m5.10.如果实数b不论取何值，直线y=kx+b与双曲线x2-2y2=1总有公共点,那么k的取值范围是_.答案：-k解析：将y=kx+b代入x2-2y2=1,得（1-2k2）x2-4kbx-2b2-1=0.(*)当1-2k2=0即k
5、=时，4kbx+2b2+1=0不能使任意bR都有解.1-2k20.方程（*）对bR恒有解，0，即16k2b2+4(1-2k2)(2b2-1)0恒成立，即8k28b2+4恒成立，8k24,k2.又k2，k2,-kb0),直线l1:=1被椭圆C截得的弦长为2，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截得的弦长是椭圆长轴长的，求椭圆C的方程.解析：由l1被C截得的弦长为2,得a2+b2=8, 设l2：y=(x-c)，代入C的方程化简得（b2+3a2）x2-6a2cx+a2(3c2-b2)=0,x1+x2=,x1x2=.|x1-x2|=,由弦长公式得,即a2=3b2, 联立得a2=6,b2=2.故
6、C的方程为=1.12.已知双曲线C:=1（a0,b0）,B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴，且满足|、|、|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.（1）求证：=；（2）若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.解析：（1）l:y=-(x-c),P().由|、|、|成等比数列得A（,0）,=(0,-), =(,), =(-,).=.（2）b2x2-(x-c)2=a2b2.即(b2-)x2+2cx-(+a2b2)=0,0恒成立.x1x2=a4,即b2a2.c2-a2a2e.13.已知点P（2,1）在双曲线=1，且它和双曲线一个
7、焦点F的距离是1，（1）求双曲线的方程；（2）过点F的直线l，交双曲线于A、B两点，若弦长|AB|不超过4，求l的倾斜角范围.解析：（1）设焦点F（c,0），由题意得（-c）2+1=1,c=,则点F的坐标为（,0），a2+b2=2. 又P（,1）在双曲线上，=1. 由得a2=1或a2=4（舍去），b2=1.从而双曲线方程为x2-y2=1.(2)当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-)代入双曲线方程得：（1-k2）x2+2k2x-2k2-1=0.|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=42.即-22,解得k2或k23.-k或k-或k.0或,或0,即m1.(2)设A（y12,y1）,(y22,y2),P(y02,y0),由kAB=,得y1+y2=-2,kPA=,kPB=，假设在抛物线上存在定点P使得直线PA与PB的斜率互为相反数，即：,即：2y0=-(y1+y2)=2,得y0=1.存在定点P（1，1）使得直线PA与PB的斜率互为相反数.
