1、5.1函数的概念和图象第1课时函数的概念学 习 任 务核 心 素 养1在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题(重点、难点)2会求几种简单函数的定义域、值域(重点)1通过学习函数的概念，培养数学抽象素养2借助函数定义域的求解，培养数学运算素养.(1)国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示：年度20082009201020112012201320142015中国创新指数116.5125.5131.8139.6148.2152.6158.2171.5如果用y表示年度值，I表示中国创新指数的取值，则I是y的函数吗？如果
2、是，这个函数用数学符号可以怎样表示？(2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如图所示医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？知识点1函数的概念函数的定义一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数函数的记法从集合A到集合B的一个函数通常记为yf(x)，xA函数的定义域在函数yf(x)，x
3、A中，所有的x(输入值)组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域函数的值域若A是函数yf(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，则将所有输出值y组成的集合y|yf(x)，xA称为函数的值域1.有人认为“yf(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”这种看法对吗？提示不对符号yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象，f是对应关系1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系()(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数()(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.()答
4、案(1)(2)(3)知识点2同一函数(1)定义域和对应关系都相同的两个函数. (2)函数的对应关系和定义域都确定后，函数才能够确定(3)给定函数时要指明函数的定义域，对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合2.定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？提示不一定是，如函数yx，x0,1，和yx2，x0,1定义域和值域都相同，但不是同一个函数2.下列四组函数中，表示相等函数的一组是()Af(x)|x|，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)，g(x)AA中定义域，对应关系都相同，是同一函数；B中定义域不
5、同；C中定义域不同；D中定义域不同 类型1函数的概念【例1】判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数(1)AN，BR，对于任意的xA，x；(2)AR，BN，对于任意的xA，x|x2|；(3)AR，B正实数，对任意xA，x；(4)A1,2,3，BR，f(1)f(2)3，f(3)4；(5)A1,1，B0，对于任意的xA，x0.思路点拨求解本题的关键是判断在对应关系f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应解(1)对于A中的元素，如x9，y的值为y3，即在对应关系f之下，B中有两个元素3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数(2)对于A中的元素x2，在f作用下，|2
6、2|B，故不能构成函数(3)A中元素x0在B中没有对应元素，故不能构成函数(4)依题意，f(1)f(2)3，f(3)4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数判断一个对应关系是否为函数的标准是什么？提示(1)A、B必须是非空数集(2)A中任何一个一元素在B中必须有元素与其对应(3)A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应总结：函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”跟进训练1下列对应关系式中是A到B的函
7、数的有_(填序号)AB1,1，xA，yB且x2y21；A1,2,3,4，B0,1，对应关系如图；AR，BR，f：xy；AZ，BZ，f：xy.对于项，x2y21可化为y，显然对任意xA，y值可能不唯一，故不符合对于项，符合函数的定义对于项，2A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合对于项，1A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合 类型2求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域(1)f(x)；(2)f(x).解(1)要使f(x)有意义，则有3x20，x，即f(x)的定义域为.(2)要使f(x)有意义，则x1且x2，即f(x)的定义域为1,2)(2，)求函数定义域的常用方法(1)若f(
8、x)是分式，则应考虑使分母不为零(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟进训练2求下列函数的定义域：(1)f(x)x0；(2)f(x)；(3)f(x).解(1)要使f(x)有意义，则解得x4且x0，x2，即f(x)的定义域为4，2)(2,0)(0，)(2)要使f(x)有意义，则x22x30，解得x3或x1，即f(x)的定义域为(，13，)(3)要使f(x)有意义，自变量x的取值
9、范围必须满足即x1且x1，即f(x)的定义域为x|x1且x1 类型3求函数的值域或函数值【例3】已知f(x)x24x2.(1)求f(2)，f(a)，f(a1)的值；(2)求f(x)的值域；(3)若g(x)x1，求f(g(3)的值思路点拨(1)将x2，a，a1代入f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f(g(3)解(1)f(2)224222，f(a)a24a2，f(a1)(a1)24(a1)2a22a1.(2)f(x)x24x2(x2)222，f(x)的值域为2，)(3)g(3)314，f(g(3)f(4)424422.在例3中，g(x)x1，求f(g(x)，g(f(x)解f(g
10、(x)g(x)24g(x)2(x1)24(x1)2x22x1，g(f(x)f(x)1x24x21x24x3.1函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得2求f(g(a)时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则3配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域跟进训练3设f(x)2x22，g(x).(1)求f(2)，f(a3)，g(a)g(0)(a2)，g(f(2)(2)求g(f(x)解(1)因为f(x)2x22，所以f(2)222210，f(a3)2(a3)222a212a20.因为g(x
11、)，所以g(a)g(0)(a2)g(f(2)g(10).(2)g(f(x). 类型4抽象函数求定义域【例4】(1)已知函数yf(x)的定义域为1,4，则f(x2)的定义域为_(2)已知函数yf(x2)的定义域为1,4，则f(x)的定义域为_(3)已知函数yf(x3)的定义域为1,4，则f(2x)的定义域为_1在yf(x)中，f(x)的定义域指的是什么？x是什么？提示f(x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量2在函数yf(x1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？提示yf(x1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围(1)1,2(2)3,6(3)(1)由题知对于f(x2)有x21,4
12、，x1,2，故f(x2)的定义域为1,2(2)由题知x1,4，x23,6，f(x)的定义域是3,6(3)由题知x1,4，x34,7，对于f(2x)有2x4,7，x，即f(2x)的定义域为.抽象函数的定义域(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域：若f(x)的定义域为a，b，则f(g(x)中ag(x)b，从中解得x的取值范围即为f(g(x)的定义域(2)已知f(g(x)的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x)的定义域为a，b，即axb，求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为f(x)的定义域用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：定义域指自变量的取值范围(告诉
13、我们已知什么，求什么)括号内范围相同(告诉我们如何将条件与结论联系起来)跟进训练4已知函数yf(x1)的定义域为3,2，则f(x1)的定义域为_5,0对于yf(x1)有x3,2，x14，1，在f(x1)中有x14,1，x5,01(多选题)下列函数中，与函数yx不相等的是()Ay2ByCy|x|DyABC函数yx的定义域为R；y2的定义域为0，)；y|x|，对应关系不同；y|x|对应关系不同；yx，且定义域为R.2下列各图中，一定不是函数的图象的是() A B C DB由函数的定义可知，一个x的值只能对应一个y的值，而选项B中一个x的值可能对应两个y的值，故不是函数图象，故选B.3函数yx22x
14、的定义域为0,1,2,3，那么其值域为()A1,0,3B0,1,2,3Cy|1y3Dy|0y3A当x0时，y0；当x1时，y121；当x2时，y4220；当x3时，y9233，函数yx22x的值域为1,0,34将函数y的定义域用区间表示为_(，0)(0,1由解得x1且x0，用区间表示为(，0)(0,15函数yln|2x|的定义域是_x|x1且x2要使函数有意义，需满足解不等式得定义域为x|x1且x2回顾本节知识，自我完成以下问题1你是怎样认识函数概念的？提示A、B是非空数集定义域是非空数集A，值域是B的子集yf(x)仅仅是函数符号，有时也用g(x)、u(x)、F(x)等符号表示2怎样判断两个函
15、数是否为同一函数？提示判断函数的定义域和对应法则是否完全一致抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感觉棘手下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法1已知f(x)的定义域，求复合函数f(g(x)的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x(a，b)，求出f(g(x)中ag(x)b的x的范围，即为f(g(x)的定义域2已知复合函数f(g(x)的定义域，求f(x)的定义域方法是：若f(g(x)的定义域为x(a，b)，则由axb确定g(x)的范围即为f(x)的定义域3已知复合函数f(g(x)的定义域，求f(h(x)的定义域结合以上1、2两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f(g(x)定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求得f(h(x)的定义域4已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集
