1、空间向量与空间角（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.在空间中,已知二面角-l-的大小为,n1,n2分别是平面,的法向量,则的大小为()A.B.C.或D.2.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为()A.150B.45C.60D.1203.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,点O为底面ABCD的中点,P为棱A1B1上任一点,则异面直线OP与AM所成的角的大小为()A.B.C.D.与点P的位置有关4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A
2、CB=90,AC=1,CB=,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,则平面B1BD与平面CBD所成角的余弦值等于()A.-B.C.D.-5.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成角是()A.30B.45C.60D.90二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013东莞高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.7.(2013金华高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.8.如图所示,已知点P为菱形AB
3、CD外一点,且PA平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点,则二面角C-BF-D的正切值为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013厦门高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点.(1)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值.(2)求二面角A1-EC-A的余弦值.10.(2013秦皇岛高二检测)如图,ABC是以C为直角的等腰直角三角形,直角边长为8,DEBC,AEEC=53,沿DE将ADE折起使得点A在平面BCED上的射影是点C,MC=AC.(1)在BD上确定点N的位置,使得MN平面ADE.(2)在(1)的条件下,求CN与平面ABD所成角的正弦
4、值.11. (能力挑战题)(2013北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1平面ABC.(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值.(3)证明:在线段BC1存在点D,使得ADA1B,并求的值.答案解析1.【解析】选C.当为锐角时,=-=;当为钝角时,=.故选C.2.【解析】选C.由条件知=0,=0,=+,|2=(+)2=62+42+82+268cos,得cos=-,所求二面角的大小为60.【变式备选】如图,在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC=90,SA平面ABCD,SA=AB=B
5、C=1,AD=,则平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),平面SAB的一个法向量是=(,0,0),并求得平面SCD的一个法向量n=(1,-,),cos=,结合图形知所求二面角的余弦值为.3.【解题指南】本题可通过解立体几何的方法求解,或者建立空间直角坐标系用向量法来解.【解析】选C.方法一:取AD的中点E,连接A1E,则A1AEADM,AA1E=DAM,AA1E+A1AM=,AMA1E.又PO在平面ADD1A1内的射影为A1E,异面直线OP与AM所成的角的大
6、小为.方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A(0,0,0),M(0,1,),O(,0),设P(m,0,1).=(0,1,),=(m-,-,1),cos=0,异面直线OP与AM所成的角的大小为.4.【解析】选D.建立如图所示的坐标系,由题意可知,B(,0,0),A(0,1,0),B1(,0,1),C(0,0,0),D(,),=(,),=(,0,0),=(-,1,0),=(0,0,1),设平面CBD和平面B1BD的一个法向量分别为n1,n2,求得n1=(0,1,-1),n2=(1,0),所以cos=,结合图形判断得平面B1BD与平面CBD所成角的余弦值为-.5.【解析】选A.
7、建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,0),=(1,-1),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos=-,所以=120,所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60,所以斜线PC与平面ABCD所成角为30.6.【解析】如图,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1),设n=(x,y,z)为平面A1BD的法向量,则取n=(1,-1,-1),设直线BC1与平面A1BD所成角为,则sin=|cos|= =,cos=.答案:7.【
8、解析】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=1,则A1(1,0,1),M(0,0),N(0,1,),=(-1,-1),=(0,1,),cos=0,即,则A1M与DN所成角的大小是90.答案:908.【解析】如图所示,令ACBD=O,连接OF.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PA=AD=AC=1,则BD=.所以B(,0,0),F(0,0,),C(0,0).结合图形可知,=(0,0)且为平面BOF的一个法向量,由=(-,0),=(,0,-),可求得平面BCF的一个法向量n=(1,).所以cos=,sin=,所以tan=.答案:【误区警示】在本题中
9、,由于空间几何体形状不是非常规则,故合理建系是关键,否则会加大运算量,并易导致失误.9.【解析】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),C(0,1,0),E(1,0),(1)=(-1,-1,1),=(1,-,0),故cos=-,所以异面直线BD1与CE所成角的余弦值是.(2)DD1平面AEC,所以为平面AEC的一个法向量,=(0,0,1),设平面A1EC的法向量为n=(x,y,z),又=(0,-1),=(-1,1,-1),即取n=(1,2,1),所以cos=.结合图形知二面角A1-EC-A的余弦值为.10.【解析】(1)由已知,点A在平面BCE
10、D上的射影是点C,则可知AC平面BCED,而BCCE,如图建立空间直角坐标系,则可知各点的坐标为C(0,0,0),A(0,0,4),B(0,8,0),D(3,5,0),E(3,0,0),由MC=AC,可知点M的坐标为(0,0,),设点N的坐标为(a,b,0),则可知b=8-a,即点N的坐标为(a,8-a,0),则=(a,8-a,-).设平面ADE的法向量为n1=(x,y,z),由题意可知而=(0,-5,0),=(3,0,-4),可得取x=4,则z=3,可得n1=(4,0,3).要使MN平面ADE等价于n1=0,即4a+0(8-a)-3=0,解之可得a=2,即可知点N的坐标为(2,6,0),点N
11、为BD的靠近D点的三等分点.(2)由(1)可知=(2,6,0),设平面ADB的法向量为n2=(x,y,z),由题意可知而=(-3,3,0),=(0,8,-4)可得取x=1,则y=1,z=2,可得n2=(1,1,2).设CN与平面ABD所成角为,则sin=.【拓展提升】线面角的求解策略(1)利用直线与平面夹角的定义,找到线面角,转化为求解三角形问题.(2)利用最小角定理,即直线与平面内任一条直线所成的角中线面角最小,代入公式cos=cos1cos2求解,(3)建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量求解.11.【解析】(1)因为四边形AA1C1C是正方形,所以AA1AC.又因为平面A
12、BC平面AA1C1C,交线为AC,所以AA1平面ABC.(2)因为AC=4,BC=5,AB=3,所以ACAB.分别以AC,AB,AA1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A1(0,0,4),B(0,3,0),C1(4,0,4),B1(0,3,4), =(4,0,0),=(0,3,-4),=(4,-3,0),=(0,0,4).设平面A1BC1的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面B1BC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),由 可得可取n1=(0,4,3).由 可得可取n2=(3,4,0).所以cos= =.由图可知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以余弦值为.(3)设点D的竖轴坐标为t(0t4),在平面BCC1B1中作DEBC于E,根据比例关系可知D(t,(4-t),t)(0t4),所以=(t,(4-t),t),=(0,3,-4).又因为,所以(4-t)-4t=0,所以t=,所以=.