1、空间向量与平行关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.直线l的一个方向向量为n=(1,3,a),平面的一个法向量为k=(b,2,3),若l,则a,b应满足的关系式为()A.3a+b+6=0B.a=3bC.3a-b+6=0D.a=-3b2.若直线a与b的一个方向向量分别是a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若ab,则m的值为()A.4B.-4C.-2D.23.设a,b分别是不重合的直线l1,l2的一个方向向量,则根据下列条件能判断l1l2的是()a=(,1,0),b=(-2,-4,0);a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1);a=(5,0,2),b=(0,1
2、,0);a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8).A.B.C.D.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E1为A1C1的中点,E是AC的中点,则与CE1平行的直线为()A.ADB.A1C1C.EB1D.EA15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面B1BCC1的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013济南高二检测)设平面的一个法向量为(3,2,-1),平面的一个法向量为(-2,-,k),若,则k等于.7.若直线l的一个方向向量为a=(3,2,-1),直线ml,则直线m的
3、单位方向向量为.8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为BB1的中点,F为AD的中点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的法向量是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中点为E,BD的中点为F,证明:CD1EF.10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN平面EFBD.11.(能力挑战题)已知:四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,且PA=AB=2,
4、ABC=60,BC,PD的中点分别为E,F.在线段AB上是否存在一点G,使得AF平面PCG?若存在,指出G在AB上的位置并给出证明;若不存在,请说明理由.答案解析1.【解析】选A.l,nk,即nk=b+6+3a=0,3a+b+6=0.2.【解析】选B.ab,ab,故m=-4.3.【解题指南】本题为求解适合平行的充分条件,可逐一验证,因此适用排除法.【解析】选A.a=-b,l1l2,排除B,C,a=-2b,l1l2,故选A.【变式备选】设u,v分别是不同的平面,的一个法向量,根据下列条件能判断的是.u=(-1,1,-2),v=(3,2,-);u=(0,0,3),v=(0,0,-2);u=(4,2
5、,-3),v=(1,4,-2).【解析】判断两个法向量是否平行即可.u=kv的k值不存在,u与v不平行;u=-v,uv,;u=kv的k值不存在,u与v不平行.答案:4.【解析】选D.如图所示,建立直角坐标系Axyz,设AB=1,则C(1,1,0),E1(,1),=(-,-,1).又A1(0,0,1),E(,0),=(-,-,1),故,又CE1与EA1不重合,故选D.5.【解题指南】由正方体易建立空间直角坐标系,可选B1或C1为原点,求M,N的坐标是解题关键.【解析】选B.以C1为原点,以,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,N(,a),M(a,),=(-,0,).而平面B1
6、BCC1的一个法向量为n=(0,1,0),n=0.又MN平面B1BCC1,MN与平面B1BCC1平行.6.【解析】,(3,2,-1)=(-2,-,k),=-,k=-1,k=.答案:7.【解析】ml,a=(3,2,-1)也是直线m的方向向量,又|a|=,所求的向量为(3,2,-1),即m的单位方向向量为(,-)或(-,-,).答案:(,-)或(-,-,)8.【解析】根据题意得D1(0,0,1),E(1,1,),F(,0,0),=(,0,-1),=(1,1,-).设平面D1EF的法向量是n=(x,y,z),则:取z=2k(k0),则x=4k,y=-3k,n=(4k,-3k,2k)(k0).答案:(
7、4k,-3k,2k)(k0)9.【证明】如图所示,建立直角坐标系Dxyz,设AB=1,则C(0,1,0),D1(0,0,1), =(0,-1,1),又A1(1,0,1),D(0,0,0),E(,0,),又F(,0),=(0,-).=-2,又CEF,故CD1EF.10.【证明】方法一:建立如图所示的空间直角坐标系,分别取MN,DB及EF的中点R,T,S,连结AR,ST,则A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,4),D(0,0,0),B(2,3,0), E(0,4),F(1,3,4),R(,4),S(,4),T(1,0).=(1,0),=(1,0),=(-,4),=(-,4).=,=,又MN
8、与EF,AR与TS不共线,MNEF,ARTS.MN平面EFBD,AR平面EFBD,又MN平面AMN,AR平面AMN,MNAR=R,平面AMN平面EFBD.方法二:建系同方法一,由方法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,4),D(0,0,0),E(0,4),F(1,3,4),则=(-1,0,4),=(0,4),=(0,4),=(1,3,4).设平面AMN,平面EFBD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),令x1=1,得z1=,y1=-,n1=(1,-,),令y2=-1,得z2=,x2=.n2=(,-1,),n1=n2,即n1n2,平面AMN平面EF
9、BD.11.【解题指南】逆向推理是解决证明问题的关键,在证明中结合目标逆向寻求解题思路,充分利用棱柱、棱锥中的三角形、四边形(正方形、长方形、菱形)的性质特征找到垂直关系与平行关系,可以有效地对问题进行转化,忽视平面图形的性质,会使解题无从入手.【解析】由题意知PA平面ABCD,又因为底面ABCD是菱形,得AB=BC且ABC=60,所以ABC是正三角形,连接AE,又E是BC的中点,BCAE,故AE,AD,AP彼此两两垂直,以AE,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,PA=AB=2,故A(0,0,0),B(,-1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),C(,1,0),=(0,0,-2),=(,1,-2),=(0,1,1).假设在线段AB上存在点G,使得AF平面PCG,则=(01),=(,-1,0),=(,-,0).=+=(,-,-2),设平面PCG的法向量为n=(x,y,z),得n=(,1,).AF平面PCG,n=0,解得=,故在线段AB上存在中点G,使得AF平面PCG.