1、第五节离散型随机变量及其分布列考点要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用(对应学生用书第196页)1随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，表示(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量2离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称
2、为X的分布列有时也用等式P(Xxi)pi，i1，2，n表示X的分布列(2)分布列的性质pi0，i1，2，3，n；pi13常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为，其中pP(X1)称为成功概率(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*，称随机变量X服从超几何分布X01mP一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()(3)如果随机变量
3、X的分布列由下表给出，则它服从两点分布()X25P0.30.7(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1设随机变量X的分布列如下：X12345Pp则p为()ABCDC由分布列的性质知，p1，p1.2从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，则P(1)等于()A B C DDP(1)1P(2)1.3有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是_0，1，2，3因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0，1，
4、2，3.4从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为_X012P0.10.60.3因为X的所有可能取值为0，1，2，P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3，所以X的分布列为X012P0.10.60.3(对应学生用书第197页)考点1离散型随机变量的分布列的性质分布列性质的2个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率1.一题两空随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_，公
5、差d的取值范围是_因为a，b，c成等差数列，所以2bac.又abc1，所以b，所以P(|X|1)ac.又ad，cd，根据分布列的性质，得0d，0d，所以d.2设随机变量X的分布列为Pak(k1，2，3，4，5).(1)求a；(2)求P；(3)求P.解(1)由分布列的性质，得PPPPP(X1)a2a3a4a5a1，所以a.(2)PPPP(X1)345.(3)PPPP.由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验教师备选例题设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量Y2X1的分布列；(2)求随机变量|X1|的分布列；(3)求随
6、机变量X2的分布列解(1)由分布列的性质知，020.10.10.3m1，得m0.3.首先列表为：X012342X113579从而Y2X1的分布列为Y13579P0.20.10.10.30.3(2)列表为X01234|X1|10123P(0)P(X1)0.1，P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3.故|X1|的分布列为0123P0.10.30.30.3(3)首先列表为X01234X2014916从而X2的分布列为014916P0.20.10.10.30.3考点2求离散型随机变量的分布列离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机
7、变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率(3)画表格：按规范要求形式写出分布列(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P
8、(A).(2)X的可能取值为200，300，400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400P求解本题的关键是明确题设限制条件：“不放回”、“直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束”教师备选例题一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列解(1)由题意知，在7张卡片中，编号
9、为3的卡片有2张，故所求概率为P11.(2)由题意知，X的可能取值为1，2，3，4，且P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以随机变量X的分布列是X1234P袋子中有1个白球和2个红球(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X的分布列；(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X的分布列；(3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X的分布列解(1)X可能取值1，2，3.P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X分布列为X123P(2)X可能取值为1，2，3，4，5.P(Xk)()k1，k1，2，3，4，P(X5)()4.
10、故X分布列为X12345P(3)因为XB(5，)，所以X的分布列为P(Xk)C()k()5k，k0，1，2，3，4，5.X012345P()5考点3超几何分布求超几何分布的分布列的步骤端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则P(A).(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).综上知，X的分布列为X123P母题探究1在本例条件下，求至少有一个豆沙粽的概率解由
11、题意知，至少有一个豆沙粽的概率PP(X1)P(X1)P(X2).2若本例中的X表示取到的粽子的种类，求X的分布列解由题意知X的所有可能值为1，2，3，且P(X1)，P(X3)，P(X2)1P(X1)P(X3)1.综上可知，X的分布列为X123P 超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型教师备选例题(2018天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人
12、中随机抽取3人做进一步的身体检查用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率【解】(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(Xk)(k0，1，2，3).则P(X0)，P(X1)，P(X3)，则P(X2)1，所以，随机变量X的分布列为X0123P设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3
13、人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则ABC，且B与C互斥由知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)，故P(A)P(BC)P(X2)P(X1).所以，事件A发生的概率为.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率解(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(Xk)，k0，1，2，3.所以随机变量X的分布列为X0123P(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且AA1A2A3，而P(A1)，P(A2)P(X2)，P(A3)P(X3).取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)P(A1)P(A2)P(A3).