1、成都外国语学校2016-2017学年度高二下期期中考试数学试题(文科)命题人：邓利 审题人：全鑫注意事项：1本试卷分第卷和第卷两个部分。2. 本堂考试120分钟，满分150分。3答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。4考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。第卷（60分）一选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 不等式的解集是（ ）A. （，-1） B. （,1） C. （-1，3） D. 【答案】C【解析】，故不等式的解集是 ，故选.2. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程有有理根，那么
2、,中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）A. 假设不都是偶数 B. 假设至多有两个是偶数C. 假设至多有一个是偶数 D. 假设都不是偶数【答案】D【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选D.考点：命题的否定.3. 过椭圆的左焦点作直线交椭圆于两点，是椭圆右焦点，则的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为椭圆为，所以椭圆的半长轴，由椭圆的定义可得，且，的周长为，故选A.4. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，所以当 时 ；当 时 ；又当 时，选选B.点
3、睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.5. 已知向量，且与互相垂直，则的值为（ ）A. 2 B. 0 C. -1 D. 1【答案】B【解析】因为向量，与互相垂直，解得，故选B.6. 已知与 之间的一组数据（如下表）：01231357则对的线性回归方程 必过点（ ）A. (2,2) B. (1,2) C. (1.5,0) D. (1.5,4)【答案】D【解析】的平均数：，的平均数：，所以样本中心点的坐标是，样本中心点在回归方程上，
4、故选D.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.学￥科￥网.7. 已知函数则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】,令，则，故选A.8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设，由焦半径得，化简得在双曲线的右支上，即双曲线离心率的最大值为，故选B.9. 已知正数满足，则曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】设曲线在点处的切线的倾斜角为，则，故故选C.10. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（
5、）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令，则，则在递减，由，得，故，解得，故选C.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.11. 已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知
6、得，设圆心为，因为圆，抛物线上一动点，为抛物线的焦点的最短距离为，则当的直线经过点时，最小，则，故选A.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到准线的距离转化为到焦点的距离，再根据几何意义解题的.12. 已知函数，若存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围为（ ）A
7、. B. C. D. 【答案】D【解析】由，求导，当时，则，则，则，令，解得，当，解得，当，解得，所以当时，取极小值，极小值为的最小值为，由，则，则，解得或，所以实数的取值范围，故选D.第卷（90分）二填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置)13. 函数的单调递减区间为_【答案】【解析】函数的开口向上，对称轴为，函数的单调递减区间为，故答案为.14. 空间直角坐标系中，已知，则直线AB与AC的夹角为_【答案】【解析】空间直角坐标系中，所以向量的夹角为，即直线与的夹角为，故答案为.15. 已知方程是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中的单位是cm，
8、的单位是kg，那么针对某个体（160,53）的残差是_【答案】-0.29【解析】试题分析：因为回归方程为，所以当x=160时，y=0.85160-82.71=53.29，所以针对某个体（160，53）的随机误差是53-53.29=-0.29考点：线性回归方程16. 点是焦点为的双曲线上的动点，若点满足 ,则点的横坐标为_【答案】【解析】由点满足，则为焦点三角形的内心，设双曲线的焦点三角形的内切圆且三边于点，双曲线的两个顶点为，则，由，在双曲线上，由在上，是双曲线与轴的交点，即，由，则所以点的横坐标为，故答案为.【方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及简单的几何性质、数形结合思想的应用，属于难题.
9、数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.三解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）17. 已知,分别求,的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【答案】详见解析.【解析】试题分析：将代入，即可求得的值；观察，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为 ，则函数值的和
10、为 ，根据结论的形式将代入并化简求值即可完成证明.试题解析：由，得 ,. 归纳猜想一般性结论为 证明如下： 【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.18. 如图，在三棱锥
11、中，平面平面，分别为，中点（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) .【解析】试题分析：（1）根据三角形的中位线定理，证出，再由线面平行判定定理可证出平面；（2）连结，由等腰三角形的三线合一，证出，结合，由此可得出；（3）由面面垂直性质定理，证出平面，得是三棱锥的高，结合题中已知条件，即可得到三棱锥的体积.试题解析：（1），分别为，的中点，又平面，平面，平面（2）连接，又，又，为中点，平面，（3）平面平面，平面，考点：1.线面平行的判定及性质；2.线面垂直的判定及性质；3.棱锥的体积.19. 已知函数，其中为常数（1）当时，求的极值；（
12、2）若是区间内的单调递减函数，求实数的取值范围【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）当时， 在区间内单调递减， 在内单调递增有极小值，无极大值；（2）易知在区间内单调递增或 的取值范围是.试题解析：（1）当时，所以在区间内单调递减， 在内单调递增 ，于是有极小值， 无极大值.（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在区间内无解即或，解得实数的取值范围是.考点：1、函数的单调性；2、函数的极值.20. 已知椭圆 的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于、两点，且，求证：的面积为定值并求出定值.【答案】(
13、1) ;(2) 详见解析.【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率等于，原点到直线的距离等于及隐含条件联立方程组求解的值，则椭圆的标准方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去后利用根与系数关系得到两点的横坐标的和与积，由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形的面积公式证得答案.试题解析：（1）由题意得椭圆的方程为. （2）设，则A,B的坐标满足消去y化简得 ， ，得，= ，即 即 = O到直线的距离 =为定值【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据
14、特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）设，若函数在定义域内存在两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（）当时，根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可求得切线方程；（）函数在定义域内存在两个零点，整理可得在有两个零点，构造函数，讨论其单调性，求得其极值，列出不等式即得实数的取值范围试题解析：（）的定义域为，所以函数在点处的切线方程为（）在定义域内存在两个零点，即在有两个零点令当时，,在上单调递增由零点存在定理，在至多一个零点，与题设
15、发生矛盾当时，则因为，当，所以要使在内有两个零点，则即可，得，又因为，所以考点：导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、极值，函数的零点.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、极值，函数的零点问题，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题.求函数图象在某点的切线关键是把握好函数在某点的导数就是切线的斜率，要研究函数零点的个数，往往需要研究函数的单调性和极值，本题中通过讨论导函数的零点与区间的关系，确定函数的单调性，求出极值，列出满足条件的不等式，解不等式即得的范围.22. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且，求证：.【答案】(1) ;(2)4.【解析】试题分析：（1）通过讨论的范围，得到关于的不等式组，解出求并集即可的结果；（2），然后根据基本不等式的性质证明即可.试题解析：（）当时，不等式化为，即或或，解得或或，不等式的解集为；（）当且仅当，即时“”成立，所以.【易错点晴】本题主要考查绝对值不等式的解法及利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.