1、1.2 类 比 推 理 1.类比推理 必备知识自主学习 类比推理 定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理 特征:类比推理是两类事物特征之间的推理;利用类比推理得出的结论不一定是正确的【思考】类比推理的步骤是什么?提示:(1)找出两类对象之间的相似性或一致性.(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质,得出一个明确的命题(猜想).2.合情推理【思考】合情推理是否能作为数学证明的工具?提示:无论由归纳推理还是类比推理得到的结论都具有猜测的性质,结论是否正确,还需要逻辑证明和实践检验.因此,合
2、情推理不能作为数学证明的工具.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)因为三角形的内角和是180(3-2),四边形的内角和是180(4-2),所以n边形的内角和是180(n-2)使用的是类比推理.()(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.()(3)类比推理是由个别到一般的推理.()提示:(1).它符合归纳推理的定义特征,应该为归纳推理.(2).类比推理得出的结论不一定正确.(3).由个别到一般或由部分到整体的推理是归纳推理.2.立体几何中与平面几何中的三角形成为类比对象的是()A.正方体 B.三棱锥 C.三棱柱 D.三棱台【解析】选B.由平面几何与立体几何的类比可知,立体几
3、何中的三棱锥是三角形的类比对象.3.等差数列an中有2an=an-1+an+1(n2且nN+),类比以上结论,在等比数列bn 中类似的结论是_.【解析】类比等差数列,可以在等比数列bn中得类似的结论 =bn-1bn+1(n 2且nN+).答案:=bn-1bn+1(n2且nN+)2nb2nb关键能力合作学习 类型一 几何问题中的类比【典例】1.如图所示,在平面上,设ha,hb,hc分别是ABC三 条边上的高,P为ABC内任意一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,可以得到结论 证明此结论.abcabcppp1.hhh2.类比1中的结论得出以下结论:如图所示,在四面体ABCD中,设ha,h
4、b,hc,hd分别 是该四面体的四个顶点到对面的距离,P为该四面体内任意一点,P到相应四个面 的距离分别为pa,pb,pc,pd,可以得到结论 试证明此结论.abcdabcdpppp1.hhhh【思路导引】中学阶段常见的类比知识点:等差数列与等比数列,向量与实数,空间与平面,圆与球等.【解析】1.同理,因为SPBC+SPAC+SPAB=SABC,所以 1.aaPBCaABCa1 BC ppS21hSBC h2bPACcPABbABCcABCpSpShShS，abcPBCPACPABabcABCpppSSShhhS2.同理,因为VP-BCD+VP-ACD+VP-ABD+VP-ABC=VA-BCD
5、,所以 BCDaaP BCDaA BCDBCDa1SppV3,1hVSh3bP ACDcdP ABCP ABDbA BCDcA BCDdA BCDpVppVV.hVhVhV，abcdabcdpppphhhhP BCDP ACDP ABDP ABCA BCDVVVV1.V 【题后反思】在题中三角形中的边和高常类比作四面体中的什么?提示:三角形类比四面体,三角形的边类比四面体的面,三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【解题策略】1.平面解析几何中的类比及解答策略 平面几何中的类比主要体现在圆与椭圆、双曲线,椭圆与双曲线之间进行类比.解决该类问题同样应抓住所给问题的相似特征,同时要注意差异进
6、行合理类比,实际类比的结果往往都是计算得到的.2.平面图形与空间几何体的类比方法 平面图形空间几何体二维平面三维空间线面线段的长度相应面的面积面积相应几何体的体积两线的夹角两平面的二面角线线垂直面面垂直线线平行面面平行三角形四面体圆球 【跟踪训练】如图(1),在三角形ABC中,ABAC,若ADBC,则AB2=BDBC.若类比该命题,如图(2),三棱锥A-BCD中,AD平面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有什么结论?命题是不是真命题?【解析】命题是:三棱锥A-BCD中,AD平面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的 射影为M,则有 =SBCMSBCD.此命题是一个真命题.证
7、明如下:如图,连接DM并延长交BC于E,连接AE,则有DEBC.因为AD平面ABC,所以ADAE.又AMDE,所以AE2=EMED.于是 =SBCMSBCD.22ABC111S(BC AE)(BC EM)(BC ED)2222ABCS类型二 数列中的类比【典例】1.在公比为4的等比数列bn中,若Tn是数列bn的前n项积,则有 也成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,相应地,在公差为3的等 差数列an中,若Sn是an的前n项和.可类比得到的结论是_.203040102030TTTTTT，2.我们已经学过了等差数列,是否有等和数列呢?(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义.(2)探索等
8、和数列an的奇数项和偶数项各有什么特点?并加以说明.(3)在等和数列an中,如果a1=a,a2=b,求它的前n项和Sn.【思路导引】审题并理解题目中的信息,结合等差数列和等比数列的定义和性质,猜想作答.【解析】1.因为等差数列an的公差d=3,所以(S30-S20)-(S20-S10)=(a21+a22+a30)-(a11+a12+a20)同理可得:(S40-S30)-(S30-S20)=300,所以数列S20-S10,S30-S20,S40-S30是等差数列,且公差为300.即结论为:数列S20-S10,S30-S20,S40-S30也是等差数列,且公差为300.答案:数列S20-S10,S
9、30-S20,S40-S30也是等差数列,且公差为300 1010d 10d10d100d300个，2.(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的和等于同一个常数,那么这 个数列就称为等和数列.(2)由(1)知an+an+1=an+1+an+2,所以an+2=an,所以等和数列的奇数项相等,偶数项也相等.(3)当n为奇数时,令n=2k-1,kN+,则Sn=S2k-1=S2k-2+a2k-1=(a+b)+a 当n为偶数时,令n=2k,kN+,则Sn=S2k=k(a+b)=(a+b),所以它的前n项和Sn=2k22n1n1n1abaab;222n2n1n1ab(n)22n ab(n).2为
10、奇数，为偶数 【题后反思】由等差数列与等比数列的性质,等差数列与等比数列通常与什么有关?提示:等差数列与和差有关,等比数列与积商有关.【解题策略】数列中的常见类比(1)数列中的类比主要体现在等差数列与等比数列的类比.常见的有:类比定义、类比性质、类比方法、类比结构等.(2)等差数列与等比数列的类比:等差数列等比数列和积差商积乘方商开方【跟踪训练】典例1改为:设等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4,_,_,_成 等比数列.【解析】设bn的公比为q,所以 成公比为q16的等比数列,直接用类比
11、法将“差”变“商”即可 得出结果.答案:4642284114TTbq,bqT，438454161211812TTbqbqTT，8161244812TTTT,TTT，816124812TTTTTT类型三 类比推理的应用【典例】已知以下过程可以求1+2+3+n.因为(n+1)2-n2=2n+1,n2-(n-1)2=2(n-1)+1,22-12=21+1,有(n+1)2-1=2(1+2+n)+n,所以1+2+3+n=类比以上过程求12+22+32+n2.2n n1n2nn.22【思路导引】类比1+2+3+n的计算公式的推导过程,可得(n+1)3-n3=3n2+3n+1,进而叠加后可得12+22+32
12、+n2的值.【解析】因为(n+1)3-n3=3n2+3n+1,n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1,23-13=312+31+1,有(n+1)3-1=3(12+22+n2)+3(1+2+3+n)+n,所以12+22+n2=23213n5n(n3n3n)3232n n1 2n12n3nn.66【题后反思】1.如何快速得到题目条件中式子“(n+1)2-n2=2n+1”?提示:利用平方差公式分解因式.2.类比所给条件,要得到12+22+32+n2,也应是n个式子相加,如何得到n2呢?提示:(n+1)3-n3=3n2+3n+1,叠加即得.【解题策略】类比推理的关注点 (1)类比是从人们
13、已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.(3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能.【跟踪训练】在计算“12+23+n(n+1)”时,有如下方法:先改写第k项:k(k+1)=k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1),由此得12=(123-012),23=(234-123),n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1),相加得12+23+n(n+1)=n(n+1)(n+2).类比上述方法,请你计算“13+24+n(n+2)”,其结果写成关于n的一次因 式
14、的积的形式 13131313【解析】13=(129-017),24=(2311-129),35=(3413-2311),n(n+2)=n(n+1)(2n+7)-(n-1)n(2n+5),各式相加,得13+24+35+n(n+2)=n(n+1)(2n+7).1616161616课堂检测素养达标 1.下列类比推理恰当的是()A.把a(b+c)与loga(x+y)类比,则有loga(x+y)=logax+logay B.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin y C.把(ab)n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn D.把a(b+c)与a(b+c)
15、类比,则有a(b+c)=ab+ac【解析】选D.根据对数运算法则,可得A不正确;利用和角的正弦公式,可得B不正确;利用乘方运算,可得C不正确;利用乘法的分配律,即可知D正确.2.椭圆的标准方程为 =1(ab0),圆的标准方程为x2+y2=r2(r0),即 =1,类比圆的面积S=r2,推理可得椭圆的面积S=_.【解析】根据类比原理:圆的标准方程 =1对应椭圆的标准方程为 =1,所以圆的面积S=r2=rr,类比可得椭圆的面积S=ab=ab.答案:ab 2222xyrr2222xyab2222xyrr2222xyab3.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式S=,可推知扇形的面 积公式S扇形=_.【解析】由扇形的弧长与半径类比三角形的底边和高可得 S扇形=lr.答案:lr 2底 高12124.类比实数运算公式:(a+b)(a-b)=a2-b2得向量的运算公式:_.【解析】(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2.答案:(a+b)(a-b)=a2-b2
