1、双曲线建议用时：45分钟一、选择题1(2019北京高考)已知双曲线y21(a0)的离心率是，则a()A.B4C2D.D由双曲线方程可得c2a21，则e215，解得a2.又a0，所以a，故选D.2(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx DyxA因为双曲线的离心率为，所以，即ca.又c2a2b2，所以(a)2a2b2，化简得2a2b2，所以.因为双曲线的渐近线方程为yx，所以yx.故选A3已知双曲线C：1(a0)的一条渐近线方程为4x3y0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|7，则|PF2|()A1 B13 C
2、17 D1或13B由题意知双曲线1(a0)的一条渐近线方程为4x3y0，可得，解得a3，所以c5.又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|PF1|6，可得|PF2|13.故选B.4(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A. B2 C. D2D法一：由离心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故选D.法二：离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，由点到直线的距离公
3、式得点(4,0)到C的渐近线的距离为2.故选D.5已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21D不妨设点A在第一象限，由题意可知c2，点A的坐标为(1，)，所以，又c2a2b2，所以a21，b23，故所求双曲线的方程为x21，故选D.二、填空题6(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a .5双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.7(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0)经过点
4、(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 yx由双曲线x21(b0)经过点(3,4)，得91，解得b，又b0，所以b，易知双曲线的焦点在x轴上，故双曲线的渐近线方程为yxx.8在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 2双曲线的渐近线方程为bxay0，焦点F(c,0)到渐近线的距离db.bc，ac，e2.三、解答题9已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29.双曲线G与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解椭圆D的两个焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双
5、曲线G的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3，3，得a3，b4，双曲线G的方程为1.10已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0.解(1)e，可设双曲线的方程为x2y2(0)双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线的方程为x2y26，即1.(2)证明：法一：由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点M(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF
6、2.0.法二：由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，点M(3，m)在双曲线上，9m26，即m230，0.1(2019全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A2sin 40 B2cos 40C. D.D由题意可得tan 130，所以e.故选D.2(2019全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO的面积为()A. B. C2 D3A不妨设点P在第一象限，根据题意可知c26，所以|OF|.又tanPOF，所以等腰三角形POF
7、的高h，所以SPFO.3双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a .2由OA，OC所在直线为渐近线，且OAOC，知两条渐近线的夹角为90，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x2y2a2.OB是正方形的对角线，且点B是双曲线的焦点，则c2，根据c22a2可得a2.4中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为37.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解(1)由题知c，设椭圆方程为1
8、(ab0)，双曲线方程为1(m0，n0)，则解得a7，m3.则b6，n2.故椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P是第一象限的交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，所以cosF1PF2.1如图，双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M，N两点，若|NF1|2|MF1|，则双曲线C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx DyxB|NF1|2|MF1|，M为NF1的中点，又OMF1N，F1OMNOM，又
9、F1OMF2ON，F2ON60，双曲线C的渐近线的斜率ktan 60，即双曲线C的渐近线方程为yx.故选B.2双曲线C的一条渐近线方程是x2y0，且双曲线C过点(2，1)(1)求双曲线C的方程；(2)设双曲线C的左、右顶点分别是A1，A2，P为C上任意一点，直线PA1，PA2分别与直线l：x1交于M，N，求|MN|的最小值解(1)由渐近线方程可设双曲线C的方程为x24y2k(k0)，把(2，1)代入可得k4，所以双曲线C的方程为y21.(2)由题易知，P在右支上时|MN|取最小值由(1)可得A1(2,0)，A2(2,0)，根据双曲线方程可得，设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2(k1，k20)，则k1k2，PA1的方程为yk1(x2)，令x1，得M(1,3k1)，PA2的方程为yk2(x2)，令x1，得N(1，k2)，所以|MN|3k1(k2)|3k1k22，当且仅当3k1k2，即k1，k2时，等号成立故|MN|的最小值为.