1、抛物线的简单几何性质（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013济宁高二检测)设抛物线y2=12x的焦点为F,点P在此抛物线上且横坐标为5,则|PF|等于()A.4B.6C.8D.102.(2013宜春高二检测)抛物线顶点在原点,焦点在y轴上,其上一点P(m,1)到焦点的距离为5,则抛物线方程为()A.x2=8yB.x2=-8yC.x2=16yD.x2=-16y3.(2013四川高考)抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是()A.2 B.2 C. D.14.(2013冀州高二检测)设F为抛物线y2=2px(p0)的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,当+=0,且
2、|+|+|=3时,此抛物线的方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x5.点A是抛物线C1:y2=2px(p0)与双曲线C2:-=1(a0,b0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A.B.C.D.二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013安阳高二检测)经过抛物线y=x2的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若y1+y2=5,则线段AB的长等于.7.已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离是5,则p=.8.(2013天水高二检测)AB是过C:y2=4x焦点的弦,且|AB|=1
3、0,则AB中点的横坐标是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.10.直角AOB的三个顶点都在抛物线y2=2px上,其中直角顶点O为原点,OA所在直线的方程为y=x,AOB的面积为6,求该抛物线的方程.11.(能力挑战题)如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使PAB的面积最大,并求出这个最大面积.答案解析1.【解析】选C.y2=12x中,p=6,由焦半径公式得|PF|=xP+=5+=8.2.
4、【解题指南】运用焦半径公式.【解析】选C.由条件可知,抛物线开口向上,设抛物线方程为x2=2py(p0),由1+=5.p=8,故抛物线方程为x2=16y.3.【解析】选D.根据点到直线的距离公式,可得抛物线y2=8x的焦点(2,0)到直线x-y=0的距离d=1.4.【解题指南】利用向量的性质及焦半径公式求解.【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),+=0,(x1-)+(x2-)+(x3-)=0,即x1+x2+x3=p.又|+|+|=3,(x1+)+(x2+)+(x3+)=3,即3p=3,p=1,故抛物线方徎为y2=2x.5.【解析】选C.求抛物线C1:y2=2px
5、(p0)与双曲线C2:-=1(a0,b0)的一条渐近线的交点:解得所以=,c2=5a2,e=,选C.【变式备选】(2013南安高二检测)双曲线-=1(a0,b0)的右焦点是抛物线y2=8x的焦点,两曲线的一个公共点为P,且|PF|=5,则该双曲线的离心率为()A.B.C.2D.【解析】选C.抛物线的准线为x=-2,设P(x0,y0),则x0+2=5,x0=3,=24.解得离心率e=2.6.【解题指南】利用焦点弦的弦长公式,即y1+y2+p.【解析】抛物线y=x2,即x2=4y的准线方程为y=-1,|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=5+2=7.答案:77.【解析】y2=2px(p0)
6、的焦点为(,0).由题意得=5,解得p=4或p=-12(舍去).答案:4【误区警示】容易把点(-2,3)看成抛物线上的点,使用焦半径公式,而导致出错.8.【解题指南】利用焦点弦公式.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点的横坐标x0=.又抛物线的准线方程为x=-1,且|AB|=10,x1+x2+p=x1+x2+2=10.x1+x2=8,=4.答案:49.【解析】设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p0),设A(x0,y0),M(0,-).|AF|=3,y0+=3,|AM|=,+(y0+)2=17,=8,代入方程=2py0得,8=2p(3-),解得p=2或p=4.所求抛物线
7、的标准方程为x2=4y或x2=8y.10.【解题指南】运用解方程组分别求出A,B坐标,从而求出|OA|和|OB|,利用面积公式求出p即可.【解析】因为OAOB,且OA所在直线的方程为y=x,所以OB所在直线的方程为y=-x.由得A点坐标(,),由得B点坐标(6p,-2p).|OA|=|p|,|OB|=4|p|,SOAB=p2=6,所以p=.即该抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.【拓展提升】抛物线中恒过定点问题过抛物线y2=2px(p0)的顶点任作两条互相垂直的直线OA和OB,则直线AB恒过定点(2p,0).【举一反三】若本题中OA的直线方程为y=kx,“AOB的面积为6”去掉,证明AB恒
8、过定点(2p,0).【证明】由得A的坐标为(,),OAOB,OB的直线方程为y=-x.由得B的坐标为(2pk2,-2pk).kAB=,AB的方程为y+2pk=(x-2pk2),整理得k(x-2p)+(k2-1)y=0.由得故直线恒过定点(2p,0).11.【解题指南】先求出弦长|AB|,再求出点P到直线AB的距离,从而可表示出PAB的面积,再求最大值即可.【解析】由解得或A(4,4),B(1,-2),|AB|=3,设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为点P到直线AB的距离,则有d=|-y0-4|=|(y0-1)2-9|.-2y04,(y0-1)2-90.d=9-(y0-1)2.从而当y0=1时,dmax=,Smax=3=.因此,当P为(,1)时,PAB的面积取得最大值,最大值为.