1、阶段一阶段二阶段三学业分层测评3 定积分的简单应用3.1 平面图形的面积3.2 简单几何体的体积1.会用定积分求平面图形的面积.(重点)2.理解建立实际问题的积分模型的基本过程和方法.(难点)3.对学生作图能力，数形结合思想方法的培养。基础初探教材整理 1 平面图形的面积阅读教材 P87P88“例 3”以上部分，完成下列问题.1.当 xa，b时，若 f(x)0，由直线 xa，xb(ab)，y0 和曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积 Sabf(x)dx.自学导航：2.当 xa，b时，若 f(x)g(x)0，由直线 xa，xb(ab)和曲线 yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积 Sabf
2、(x)g(x)dx.(如图 4-3-1)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)曲线 ysin x，x2，32 与 x 轴围成的图形的面积为232 sin xdx.()(2)曲线 yx3 与直线 xy2，y0 围成的图形的面积为01x3dx12(2x)dx.()(3)曲线 y3x2 与直线 y1 围成的图形的面积为22(4x2)dx.()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型利用定积分求平面图形的面积 (1)求由直线 yx3，曲线 yx26x13 所围图形的面积 S；(2)
3、求由曲线 yx2，直线 y2x 和 yx 围成的图形的面积.【精彩点拨】(1)作出两函数的图像，并求其交点坐标.确定积分区间，利用定积分求面积 S.(2)求出三条曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下.探究应用：【自主解答】(1)作出直线 yx3，曲线 yx26x13 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组yx26x13，yx3，得交点坐标为(2，5)和(5，8).因此，所求图形的面积 S25(x3)dx25(x26x13)dx25(x27x10)dx13x372x210 x5292.(2)法一：由yx2，yx
4、和yx2，y2x解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0，1，2.故所求的面积 S01(2xx)dx12(2xx2)dx x22 10 x2x33 21 120483 113 76.法二：由于点 D 的横坐标也是 2，故 S02(2xx)dx12(x2x)dx x22 20 x33x22 212832 1312 76.法三：因为14y2 y2，23y32y24 yy2.故所求的面积为 S01yy2 dy14yy2 dy 14y21023y32y24 41 142381416 2314 76.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐
5、标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数图像上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.归纳：在曲线 yx2(x0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成图形的面积为 112，试求切点 A 的坐标及过切点 A 的切线方程.【精彩点拨】设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程.【自主解答】设切点 A(x0，x20)，切线斜率为 k2x0，切线方程为 yx202x0(xx0).令 y0，得 xx02，如图，S0 x02x2dxx02x0 x2(2x0 x
6、x20)dx 112x30.112x30 112，x01.切点 A 的坐标为(1，1)，切线方程为 y2x1.1.本题中求面积 S 时，易错误地写成 S0 x0 x2(2x0 xx20)dx.错误原因是没能分割好图形.2.关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题.归纳：再练一题2.如图 4-3-2，设点 P 在曲线 yx 2 上，从原点向 A(2，4)移动，如果直线OP，曲线 yx 2 及直线 x2 所围成的面积分别记为 S1，S2.图 4-3-2(1)当 S1S2 时，求点 P 的坐标；(2)当 S1S2 有最小值时，求点
7、 P 的坐标和最小值.【解】(1)设点 P 的横坐标为 t(0t2)，则 P 点的坐标为(t，t2)，直线 OP 的方程为 ytx.S10t(txx2)dx16t3，S2t2(x2tx)dx832t16t3.因为 S1S2，所以 t43，点 P 的坐标为43，169.(2)SS1S216t3832t16t3 13t32t83，St22，令 S0 得 t220.因为 0t2，所以 t 2，当 0t 2时，S0；2t0.所以，当 t 2时，S1S2 有最小值834 23，此时点 P 的坐标为(2，2).1.用 S 表示图 4-3-3 中阴影部分的面积，则 S 的值是()图 4-3-3A.acf(x
8、)dxB.acf（x）dxC.abf(x)dxbcf(x)dxD.bcf(x)dxabf(x)dx检测案：【解析】xa，b时，f(x)0，阴影部分的面积 Sbcf(x)dxabf(x)dx.【答案】D3.由 yx2，y14x2 及 x1 围成的图形的面积 S_.【解析】图形如图所示，S01x2dx0114x2dx0134x2dx 14x31014.【答案】145.计算由曲线 y2x，yx2 所围图形的面积 S.【解】由y2x，yx2得交点的横坐标为 x0 及 x1.因此，所求图形的面积为 SS曲边梯形OABCS曲边梯形OABD 01 xdx01x2dx23x321013x310 231313.6.设 a0，若曲线 y x与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为a2，试求 a 的值.【提示】由已知得S0a xdx23x32a023a32a2，所以a1223，所以a49.7.若两曲线 yx 2 与 ycx 3(c0)围成图形的面积是23，试求 c 的值.【提示】由yx2，ycx3，得x0或x1c.0 xcx3，S01c(x2cx3)dx13x314cx41c0 13c3 14c3 112c323.c318，c12.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学后反思：
